2019 Fiscal Year Research-status Report
Integration of homotopical and analytical methods in the frame work of diffeology
| Project/Area Number |
18K03279
|
|---|
| Research Institution | Okayama University |
|---|
Principal Investigator |
島川 和久 岡山大学, 自然科学研究科, 特命教授 (70109081)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 微分空間 / モデル圏 / シュワルツ超関数 / コロンボー代数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き，本年度も微分空間の圏のモデル構造および微分空間上の一般関数の構成に関する研究を展開し，以下のような研究成果を得た。
(1) 微分空間の圏においても滑らかな写像のみを用いてホモトピー集合が定義でき，位相空間と同様に弱ホモトピー同値の概念が導入される。この結果に基づき，昨年度は，微分空間の圏においても位相空間の圏における Quillenモデル構造に類似したモデル構造を導入し，両者が本質的に一致する，すなわち，Quillen 同値であることを示した。しかしながら，その構成法は極めて複雑であり，証明に幾つかのギャップが発見されたため，本年度は，モデル構造の構成法を見直して大幅な簡素化を行い，判明しているすべてのギャップを埋めることに成功した。また，その過程において，滑らかなセル複体のホモトピー論的性質に関する新たな知見が得られた。
(2) Schwartz超関数は，解析学を物理学や工学分野に応用する上で必要不可欠な道具立てであるが，超関数の積が一般的には構成できないという難点を抱えている。この欠陥を解消する手段として，Colombeau 代数を始めとする一般関数の代数は極めて有効であり，既に応用面でも幾つか成功を収めている。我々は，Colombeau および Todorov-Vernaeve の構成法を融合する形で改良して一般の微分空間上に一般関数を構成し，更にそれを拡張することにより，任意の微分空間の間の「一般写像」を構成することに成功した。微分空間と一般写像からなる圏は，完備性・余完備性を始めとして微分空間の圏がもつ優れた性質を継承し，応用面への貢献が大いに期待される。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
微分空間の圏のモデル構造の基礎理論については，本年度迄の研究でほぼ解決され，今後の研究の焦点は，ホモトピー論の幾何学的応用に向かうと思われる。また，ド・ラム理論との関連に関して幾つかの進捗が見られた。一方，微分空間上の一般関数に関する研究成果によって，微分空間上のカレント代数の構成に向けた道筋が明らかになり，本研究計画の主要テーマである微分空間の枠組みにおけるホモトピー論的手法と解析的手法の融合に向けて大きく前進した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
代数的位相幾何学で培われたホモトピー論の種々の概念および手法と，関数解析学や微分幾何学で重要な役割を担う微分形式およびその拡張概念であるカレントの理論を微分空間の枠組みにおいて融合し，発展させる新たな研究手法を確立し，その幾何学的応用を探求する。特に，軌道体( orbifold )や階層体( stratifold )などの特異点を許す多様体の一般化や，微分空間の概念が極めて有効に機能する研究対象である葉層構造や接触構造などの幾何学的構造の研究において，ホモトピー論が解析的な研究手法と相俟って，どのような成果をもたらし得るか実験的な検証を行う。
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染の蔓延に伴い，計画していた研究出張の幾つかが中止となり，旅費実額が当初の予定額を大きく下回った結果，次年度使用額が生じたもの
である。これについては,翌年度分として請求した助成金の内の旅費等に加算して使用したいと考えている。
|
