2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03281
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| Research Institution | Kagawa University |
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Principal Investigator |
佐竹 郁夫 香川大学, 教育学部, 教授 (80243161)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤 博之 香川大学, 教育学部, 准教授 (50391719)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | Frobenius多様体 / 位相的漸化式 / 原始形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
単純楕円型特異点のうち、E8型の特異点に対し、その振動積分と、満たす微分方程式をスペクトル曲線から再現するため、スペクトル曲線の解析を行なった。この研究の重要性は、原始形式の取り方およびその不定性について、位相的漸化式の立場から理由付けを与えることにある。
また、楕円ルート系のD4型の平坦ワイル群不変式を、修正されたコクセター変換の不変空間での挙動を用いて特徴付けることができた。部分的な特徴づけは、E6, E7, E8型の平坦ワイル群不変式についても得られている。これには、周期の満たす微分方程式(2nd structure connection) を用いた。また、D4型の場合に微分作用素を用いずにアフィンリー環の基本指標のみですべての平坦ワイル群不変式を書き下した。これには、金子ザギエの微分方程式と、その解の構成を用いた。これらの結果を合わせることにより、基本指標をコクセター変換の不変空間での挙動で特徴付けることも系として得られる。また、この結果は Kac-Peterson による指標のヤコビ行列の計算結果（D4の場合）を再現していることも確認できた。
これらの研究の重要性は、当初ヤコビ形式の満たす微分方程式を出発点にしていたワイル群平坦不変式の研究を、基本指標のコクセター変換の不変空間での挙動を出発点に取り直すことを可能にするところにある。ヤコビ形式の満たす微分方程式は計算可能ではあってもその理論的意味を見出しづらい一方、基本指標のコクセター変換の不変空間での挙動は、その理論的（表現論的）意味を見出すことが可能であると考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
単純楕円型特異点に対する振動積分と、振動積分の満たす微分方程式を、そのスペクトル曲線から再現するため、スペクトル曲線とその上の多重微分形式の研究、振動積分の満たす微分方程式についての WKB 解析、ストークス現象について研究を進めている。
関連して、結び目に対する Jones 多項式についての研究との類比を行なっている。また、単純楕円型特異点の研究において、スペクトル曲線が楕円曲線の場合が重要になってくるが、楕円曲線をスペクトル曲線とする位相的漸化式の研究（パンルベ方程式における一般解の構築など）での昨年度の進展が我々の場合とどのように関連しているかを調べている。
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| Strategy for Future Research Activity |
特異点に対する振動積分、Jones 多項式についての研究、パンルベ方程式における一般解の構築などで、異なった領域で似た構造が現れる一方、個別の対象にのみ現れる構造（Brieskorn 格子、高次留数など）もある。より普遍性のある構造を見出すため、特異点以外の対象に対する Brieskorn 格子や高次留数の類似の構造があるのかの模索を行なっていきたい。
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| Causes of Carryover |
分担者の直接経費の使用を最終年度にまとめたため、最終年度に使用する。
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