Density Theorems of Closed Geodesics for Nilpotent Extensions and Asymptotics of Heat Kernels

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03282
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 勝田 篤 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60183779)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 密度定理 / 熱核 / 素閉測地線 / リッチ曲率 / キリングベクトル場

Outline of Annual Research Achievements

コンパクト多様体のHeisenberg被覆多様体上の熱核の長時間漸近挙動および定負曲率コンパクトリーマン面のHeisenberg拡大に関する素閉測地線の長さに関するChebotarev型の密度定理について研究した．両者はある程度の部分は共通の考え方で取り扱うことが可能である．すなわちBloch-Floquet理論の非可換化を，離散Heisenberg群およびHeisenbergリー群の表現論を結び付けることにより考察し，半古典解析の考え方を用いてそれらの漸近挙動を調べるという方法である．これは可換の場合をモデルにしてはいるものの非可換化により，困難は飛躍的に増大する．これに関しては現在，漸近展開も込めて，論文を執筆中である．漸近挙動の主要部に関してはほぼ完成しているが，高次の漸近挙動についてはもう少し研究が必要である．
もう一つ，博士課程院生との共同研究で，リッチ曲率がほぼ非正のコンパクトリーマン多様体のキリングベクトル場に関する剛性定理を示した．これはBochnerの古典的定理の一般化であり，さらにリッチ曲率がほぼ非負のコンパクトリーマン多様体における第一Betti数に関するColdingおよびCheeger-Coldingの剛性定理の非正曲率版とのいえる．後者の結果との結果との違いは，証明にGromov-Hausdorff収束に関するコンパクト性定理を用いていない分，証明はシンプルであるが，ほぼ非正リッチ曲率，つまりある程度は正であってもよいのであるが，その大きさを具体的に評価できる点にある．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

熱核の漸近挙動と素閉測地線の密度定理に関しては，おおむね計画通りであるが，漸近展開まで込めて論文を執筆中であり，高次の漸近挙動に関する部分で詳細について少し検討が必要である．
キリングベクトル場の剛性定理に関しては，共著論文をまとめることができた．

Strategy for Future Research Activity

まずは，熱核と素測地線に関する論文を完成させることを第一目標とする．これが終わったら，素測地線の密度定理に関して，曲率一定とは限らない負曲率多様体への拡張を考える．さらにそれも完成したらHeisenberg群を一般のべき零群に拡張することに挑戦する．