2020 Fiscal Year Research-status Report
Density Theorems of Closed Geodesics for Nilpotent Extensions and Asymptotics of Heat Kernels
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18K03282
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
勝田 篤 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60183779)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ハイゼンベルグ群 / 熱核 / 素閉測地線 / 密度定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に引き続き，ハイゼンベルグ拡大に関する熱核の漸近挙動および負定曲率リーマン面の素閉測地線の分布に関する漸近挙動に関連する事項について研究した．前年度の報告において述べたように，それまでの技術的困難点はほぼ解決していたのであるが，それをより広い観点から見直すべく，九州大学の学部大学院共通講義および東北大学の集中講義においてこの話題をとりあげた．
その結果，まず，これまで用いていた議論が通常のアーベル群に対するBloch-Floquet理論をハイゼンベルグ群という最も簡単な場合であるが非アーベル群にまである意味で拡張するという一般的な言明としていえることおよび漸近挙動の解析における数学的正当化に関し，当初の計画ではHelffer-Sjoestrandによる半古典解析に関する深い結果を援用する予定であったが，その代わりに離散ハイゼンベルグ群の表現論とハイゼンベルグ・リー群のシュレディンガー表現の関連に基づく議論で，別証明を与えることができたと考えている．
前者については，これまで通常のBloch-Floquet理論を用いてなされた，非常に多くの研究の内の少なくともある種の部分に関しては，ハイゼンベルグ群への拡張が考えられると思われるし，また後者についても，半古典理論における漸近解析や量子群等の対象への応用が有りうるのではないかと少し期待している．
さらに懸案であったリーマンと幾何に関連する著書もようやく（まだ草稿の段階ではあるが），ある程度形になった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ハイゼンベルグ拡大に関する熱核や素閉測地線の研究が，ある程度の想定はあったがより広く他の分野と関連を見い出すことができた点は良かったが，プレプリントの完成の遅れはマイナスポイントなので併せて上記の評価とした．
今年度のCOVIDの影響下で多くの方が苦しんでおられる状況で，申し上げてよいか躊躇するところもあるが，多くのオンラインセミナーに参加することができ，多数の研究上のヒントを得ることができたのは個人的にはプラスであった．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究方向については次の二つの方向を考えている．一つは今回ある程度の感触を得ることができた多方面への応用を探ること，幾つかの候補は既にある．もう一つはハイゼンベルグ群に対する結果を他のべき零群に拡張することである．こちらについてもある程度の方針はあるが，うまくいくかどうかはもちろん試してみないとわからない．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由は，コロナ蔓延により，出張を取りやめたためである．使用計画は，多くのデータを収納できるノートパソコンの購入および，出張可能な状況になればそれに使用する．
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