2021 Fiscal Year Research-status Report

Density Theorems of Closed Geodesics for Nilpotent Extensions and Asymptotics of Heat Kernels

Research Project

Project/Area Number	18K03282
Research Institution	Kyushu University
Principal Investigator	勝田篤九州大学, 数理学研究院, 教授 (60183779)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	ハイゼンベルグ群 / 漸近挙動 / 熱核 / 素閉測地線
Outline of Annual Research Achievements	ハイゼンベルグ拡大に関する熱核の漸近挙動および負曲率リーマン面の素閉測地線の分布に関する漸近挙動に関連する事項についてのプレプリントを書いた．その過程で，素閉測地線の漸近挙動に関しては，前年度まで，定曲率リーマン面という仮定を置いていたが，今年度は変動負曲率の曲面の場合へ拡張した．このプレプリントに関するご意見を国内外の専門家に伺ったところ，もちろん無反応の場合もあったが多くの方から興味深いとのお返事があった．また，前年度にも述べたようにHarper作用素のスペクトルの漸近公式（Wilkinson公式）のHelffer-Sjoestrandによる半古典解析に関する深い結果を用いずにリー群離散群の表現の関連を用いた別証明についても書き上げることができた．後者については，これまでの証明は調和振動子による近似の非摂動効果をみるもので興味深いものではあったが，表現論的観点からは，２つのリー環の生成元を組み合わせたCasimir作用素を用いる必要があった．これに対し今回の別証明では生成元それぞれから定まるユニタリー作用素を個々に近似するという取り扱いが可能になったという利点がある．現在，上記の観点からの新手法の応用をハイゼンベルグ群を一般のベキ零群に拡張することも含めて考察中である．もし，一般のベキ零群への拡張すればより望ましいが，現状のハイゼンベルグ群という最も簡単な非アーベル群でも，いくつかのAbel群でなされた結果の拡張与えることは可能と思われる．例えば被覆多様体上のGreen核の漸近挙動や力学系の混合性等である．さらに懸案であったリーマンと幾何に関連する著書もようやくほぼ完了といえる段階となり，現在最終の仕上げを行っているところである．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 前年度もハイゼンベルグ拡大に関する熱核や素閉測地線の研究が，他の分野と関連を見い出すことができたと述べたが今年度もさらなる多くの点の発展方向を見出すことができた．一般のベキ零群の場合への拡張に関しても多くの進歩があり，大枠の目途はほぼ付いたと考えている．さらに，今年度も多くのオンラインのセミナーや研究会に参加することができ，多数の研究上のヒントを得ることができたのはプラスであった．
Strategy for Future Research Activity	今後の研究方向については次の二つの方向を考えている．一つはある程度の感触を得ることができた多方面への応用を探ること, もう一つはハイゼンベルグ群に対する結果を他のべき零群に拡張することである．その他にも，いくつか発展の可能性についていくつかのヒントは得られているが，次年度は今課題の最終年度でもあるので，これらは将来の研究に向けての準備としても予備研究を進めたい．
Causes of Carryover	3月の数学会年会への出張旅費としての使用予定であった予算をオンライン開催のため使用しなかった．