2022 Fiscal Year Annual Research Report
Density Theorems of Closed Geodesics for Nilpotent Extensions and Asymptotics of Heat Kernels
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18K03282
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
勝田 篤 九州大学, 数理学研究院, 教授 (60183779)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ハイゼンベルグ群 / 離散べき零群 / 素測地線 / 熱核 / 漸近展開 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度にまとめたハイゼンベルグ拡大に関する熱核の漸近挙動および負曲率リーマン面の素閉測地線の分布に関する漸近挙動に関連する事項についてのプレプリントをより一般の離散ベキ零群に拡張するべく改訂中である．
前者に関しては，これまでの予想をほぼ解決したといえるが，現在のところ，後者に関しては，定曲率リーマン面の場合についてまとめているが，変動負曲率のリーマン多様体の測地流やさらに一般の混合的アノソフ流の素閉軌道についてもこれまでの研究成果と力学系の諸理論を組み合わせればそれほど困難なく拡張可能であると思われる．ただし，漸近展開の係数の明示的表示に関してもある種の準楕円型作用素の固有値，固有ベクトル等を用いた表示，特にこの作用素のスペクトルゼータ関数の特殊値を用いたものは可能である．ハイゼンベルグ群の場合はこの作用素が調和振動子であるため，よりはっきりと書けたが，このような意味のより明確な表示に関しては今後の研究課題である．
また，前年度までの成果である定磁場下でのランダウハミルトニアンの離散モデルであるHarper作用素のスペクトルの漸近公式（Wilkinson公式）のHelffer-Sjoestrandによる半古典解析に関する深い結果を用いずにリー群離散群の表現の関連を用いた別証明は，より高階のベキ零群への一般化が可能であることもほぼわかった．特にHeisenberg doubleと呼ばれる数理物理の対象への応用は有望と考える．
さらに上記の一般のベキ零群への結果の拡張により，いくつかのAbel群でなされた結果の一般化は可能であると思われる．例えば被覆多様体上のGreen核の漸近挙動やホロサイク流の混合性等である．さらに懸案であったリーマンと幾何に関連する著書については，最終の仕上げがかなり長引いて昨年度一杯を要したが，一部レイアウトの変更を除きほぼ完成という状態になった．
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