2018 Fiscal Year Research-status Report
Geometry of the braid groups and mapping class groups and their growth
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18K03283
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
藤井 道彦 琉球大学, 理学部, 教授 (60254231)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
河澄 響矢 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (30214646)
逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902)
佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (70533256)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ブレイド群 / 離散群 / ケーリーグラフ / 測地的代表元 / 増大級数 / ガーサイド標準形 / スータブル・スプレッド法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、４本以上の糸からなるブレイド群 Γ に対して、ケーリーグラフ内の測地線を見つけるアルゴリズム Ｐ を構築することによって、Γ の増大級数の具体的な形を求め、さらに増大度も求めることを目的の一つとしている。平成３０年度にはまず、研究代表者・藤井は分担者・佐藤隆夫と共同で、Γ の増大級数を求める際に生じる問題点を検討・分析した。その結果、ブレイド群 Γの標準的な代表元（ガーザイド標準形）からスータブル・スプレッド法を用いて得られる元が測地的にならない不規則な現象を発見した。そこで、ガーサイド標準形上に基本的元 Δ の逆元が一つだけ現れている場合について詳細にその現象を考察した。この場合には、ガーサイド標準形のスクエア・フリー元への分割の状況に応じて決まる２つのパターンが存在することが分かった。さらに、スータブル・スプレッド法に加えて、ある手順を踏めば測地的元を得られることも解明した。
３本の糸からなるブレイド群の場合にはこのような不規則な現象は生じないことは分かっているので、本研究での不規則な現象の考察結果は、３本の場合には生じないが４本以上の糸からなるブレイド群の増大級数の具体形を求める際に生じる困難な状況を明らかにしていて、かつ、４本以上の糸からなるブレイド群 Γ のケーリーグラフの複雑性を測地線の観点から説明するものとなっている。その点で平成３０年度の研究は幾何学的群論の立場からも意義のあるものである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究では、（Ａ）ブレイド群 Γ について、ケーリー・グラフ内の測地線を見つけるアルゴリズム P を構築することによって、Γ の増大級数の形を明らかにし、増大度を求めること、および（Ｂ）写像類群について、写像類群と擬等長となる離散群を具体的に構成することによって、写像類群の増大度を求めること、を目的としている。平成３０年度の研究では、（Ａ）についての研究はある程度進み、今後の新たな研究の方向性のめどが立った。しかし、（Ａ）での研究に予定以上に時間がかかっているので、（Ｂ）については進展といえる成果がほとんど得られていない。そこで、「やや遅れている」と評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後まずは、平成３０年度での分担・佐藤との共同研究で発見された、不規則な現象に関して、基本的元 Δ の逆元がガーサイド標準形内に２つ以上現れる場合について考察を進めていく。さらに、（不規則な場合でない）標準的な場合について、ガーサイド標準形の正モノイドの部分の効率的な分割を見つけるアルゴリズムを開発していく。また、写像類群に擬等長となる離散群の構成にトライしていく。この時に直角アルティン群による近似がどの程度良いものかを解析していく。
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| Causes of Carryover |
平成３０年度の研究で、ブレイド群の測地線を見つけるアルゴリズム P の構築まで進むことを予定していたが、実際にはまだ構築できず、アルゴリズム P を実働させるパソコンと数式処理ソフト（Mathematica）の購入には至らなかった。そこで、次年度使用額が大幅に出てしまった。平成３１年度の研究で、アルゴリズム P の構築が進みつつあるので、年度初めにパソコンと数式処理ソフト（Mathematica）の購入をするように計画している。
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