Geometry of the braid groups and mapping class groups and their growth

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03283
• Research Institution: University of the Ryukyus
• Principal Investigator: 藤井 道彦 琉球大学, 理学部, 教授 (60254231)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 河澄 響矢 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30214646) ; 逆井 卓也 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (60451902) ; 佐藤 隆夫 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (70533256)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: ブレイド群 / 離散群 / 増大級数 / ガ―サイド標準形 / ケーリーグラフ / 測地的代表元

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的の一つに、４本以上の糸からなるブレイド群 Γ に対して、ケーリーグラフ内の測地線を見つけるアルゴリズム Ｐ を構築することによって、Γ　の増大級数の具体的な有理関数表示を求め、さらに増大度も求めることを掲げている。平成３０年度および平成３１年度には、研究代表者・藤井と分担者・佐藤隆夫は、Γ　の増大級数を求める際に生じる問題点の検討・分析をした結果、ブレイド群 Γの標準的な代表元（ガーザイド標準形という）からスータブル・スプレッド法を用いて得られる元が測地的にならない不規則な現象を探究する必要性に気づいた。そこで、ガーサイド標準形上に基本的元 Δ の逆元の現れる個数に着目して詳細にその現象の考察を進めた。令和２年度には、ガーサイド標準形上に基本的元 Δ の逆元が２個以上現れる場合に生じる複雑な現象について考察を行った。ガーサイド標準形のスクエア・フリー元への分割の状況に応じて決まる複雑なパターンのいくつかのケースを具体的に決定できた。基本的元 Δ の逆元が１個だけしか現れない場合にはもっと単純な現象しか生じないことが平成３０年度の研究で分かっているので、令和２年度で得られた結果は、３本の場合には生じないが４本以上の糸からなるブレイド群の増大級数の具体形を求める際に生じる複雑な状況のいくつかのケースを明らかにしていると言える。その点で令和２年度の研究は幾何学的群論の立場からも意義のあるものである。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本研究では、次の２つを目的としている。（Ａ）ブレイド群 Γ について、ケーリー・グラフ内の測地線を見つけるアルゴリズム P を構築することによって、Γ の増大級数の形を明らかにし、増大度を求めること、（Ｂ）写像類群について、写像類群と擬等長となる離散群を具体的に構成することによって、写像類群の増大度を求めること。令和２年度の研究で、（Ａ）についての研究はある程度進んでおり、研究目的に叶う形で研究の方向性のめどが立った。しかし、コロナの影響もあって、共同研究がなかなか進まなかった。そこで、期間延長をすることになった。（Ａ）での研究に予定以上に時間がかかっているので、（Ｂ）については進展といえる成果がほとんど得られていない。よって、「やや遅れている」と評価した。

Strategy for Future Research Activity

今後まずは、平成３１年度に発見された、不規則な現象に関して、令和２年度に引き続いて考察を進めていく。さらに、（不規則な場合でない）標準的な場合について、ガーサイド標準形の正モノイドの部分の効率的な分割を見つけるアルゴリズムを分担者・佐藤隆夫とともに開発していく。また、分担者・逆井とともに、直角アルティン群を用いて、写像類群に擬等長となる離散群の構成にも着手していく。

Causes of Carryover

令和２年度にはコロナの影響で、共同研究の機会が失われて、研究が大幅に遅れたから。
令和３年度では、令和２年度にコロナの影響で実施を延期せざるを得なかった、本研究に関する研究集会を開催するよう計画している。また、コロナの影響で研究連絡が滞っていた、分担者の佐藤および逆井との共同研究について、研究連絡の実施体制を整えて、実施していくよう計画している。