2021 Fiscal Year Research-status Report
Locally homogeneous Kaehler manifolds and Transformation groups
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18K03284
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
神島 芳宣 城西大学, 理学部, 客員教授 (10125304)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
長谷川 敬三 新潟大学, 人文社会科学系, フェロー (00208480)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 等長変換群 / 四元数変換群 / 幾何多様体 / 擬エルミート多様体 / 四元数コンタクト多様体 / 三つのReeb場 / 四元数Heisenberg Lie 群 / 可微分qc-変換群Aut(X) |
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| Outline of Annual Research Achievements |
我々のlegacyといえるこの研究課題(等長リー変換群作用と幾何構造)において,昨年度の研究成果は具体的に局所等質ケーラー多様体,局所等質佐々木多様体をもってきて,その場合の幾何構造を調べた.簡単に結果を復習するとコンパクト非球形ケーラー多様体X/Γをとるとき, Xはk次元複素ユークリッド空間C(k)とエルミート境界領域Dとの直積にケーラー同型でさらにX/Γのその有限被覆はファイバーが複素トーラスTであるようなエルミー対称多様体D/Q上の正則ファイバー束になる.Y/πをコンパクト非球形佐々木多様体とするとき,昨年の結論はYが等長的に2k+1次元Heisenberg Lie群Nと領域Dとの直積になり,その商Y/πはケーラー多様体X/Γ上のファイバーがHeisenberg nil多様体であるようなファイバー束という結果であった.これをうけて,今年度は4n+3次元四元数コンタクト多様体Xを調べた(以下qc-多様体と略す).定義よりqc-多様体Xは4n次元カルノーカラテオドリー構造Dとその上に定義された四元数構造J={J1,J2,J3}をもつ.XはDを補足する3元部分束Vを許容する.Dを実現するImH=Ri+Rj+Rk-値の1次微分形式ω=iω1+jω2+kω3はω(V)= ImHをみたす.各実１次形式ωkに対してVの三つのベクトル場はそれぞれReeb場になる.我々はこの課題の研究の一環として,この構造(D,J)を保つX上の可微分qc-変換群Aut(X)を考えた.もしVが積分可能でその生成する部分群がAut(X)に所属するとき,その要請を踏まえた部分群Psh(X)が得られる.これはちょうどCR-多様体の場合CR-変換群が佐々木擬エルミート変換群に簡約される状況であり四元数コンタクトへの一般化である. VがPsh(X)に入る場合Xはqck-多様体とよび,
この幾何構造を調べた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
海外共同研究者とは現状では会うことも出きない.email,zoomなどによる研究交流も特段の発展は見られないが,逆に一人でじっくり研究する時間ができた.そのため,中々証明できない部分とか以前の証明のギャップなどをじっくり見直す機会が持てた.実はお互いに主張していることが表現を書き直すと同じものになったりして,さらに踏み込んだ結果にたどり着くことがおきた.これまでの結果を十分見直し,今はより改良された成果を得ることに至った.以下は具体的な説明である.コンパクトなqck-多様体は3－佐々木多様体であり,四元数ケーラー多様体上のSp(1)-束になることが知られている.したがって今度はqck-部分束Vが3次元ベクトル空間R3を生成する非コンパクトなqck-多様体の場合を考えた.現在進行中であるが,得られた結果として「(i) R3の各Rによる商多様体X/Rは複素コンタクト多様体になる.さらにX/Rはハイパーケーラー多様体X/R3上の正則主束を誘導する.(ii) 商多様体X/R2は擬エルミート多様体となり,それはX/R3上の佐々木擬エルミートR-束をあたえる.(iii) 同様にコンパクトなqck-多様体に対しては,3次元トーラスT3の主束を与える.」この結果をサポートする例として,「Mをコンパクト複素コンタクト相似多様体とする.もし展開写像が岩澤複素リー群Lへの単射写像だとすると,Mは岩澤-インフラ冪零多様体L/Γかあるいはインフラ-Hopf多様体S1x S4n+2に正則同型である.」Qc-多様体に対して定義されるqc-曲率によれば,S.Ivanov,D.Vassilevの考察結果からVがR3であるようなqc-多様体は四元数qc-アインシュタイン多様体でそのqc-スカラー曲率が消滅する幾何多様体として捉えることができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
qc-部分束VがSO(3)のリー環のとき,そのqc-多様体は3-佐々木多様体になる. したがって今後の目標はqc-多様体が与えるVがPsh(X)の部分群Gを生成するとき,リー群自体Gの存在の可能性は可解群,単純群であるが,Sp(1)でもR3でもない3次元リー群Gにはどのようなものが出現するかを調べたい.すでに以前パラ四元数qCR多様体という概念を調べた. これは,3-佐々木多様体はそのファイバーがSp(1)で商が四元数ケーラー多様体であるような主束であるが,パラ四元数qCR多様体はそのファイバーがSL(2,R)で商が四元数パラケーラー多様体となる主束であることを理解した.我々の現在の仮定では,ファイバーVに対してImH=Ri+Rj+Rk-値のqc-構造Dを実現する1次微分形式ω=iω1+jω2+kω3が存在し,ω(V)= ImHであることを要請していた.一方パラ四元数H'(分裂四元数体)を考えるならば,パラ四元数qCR多様体のファイバーV'はImH'-値の1次微分形式ω'が存在して,ω'(V')= ImH'となり,ちょうど3-佐々木多様体に対応して,3-パラ佐々木多様体ができる.パラ四元数ケーラー多様体の幾何学的な性質などはまだわかっていない.このように定義を広げると,まだまだ調べることがでてくる.まずはこの関係をもっと調べて,我々のqck-多様体を発展させていきたい.
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| Causes of Carryover |
昨年度の海外出張および外国人招聘の予定に対し、実施が不可能になったため、今年度改めて計画している.
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