2019 Fiscal Year Research-status Report
Pluricanonical systems of compact Kahler manifolds
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18K03285
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
辻 元 上智大学, 理工学部, 教授 (30172000)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 標準束 / 射影代数多様体 / ケーラー・アインシュタイン計量 / ケーラー多様体 / モジュライ空間 / 代数的ファイバー空間 / 小平次元 / 飯高予想 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究結果としては以下の通り。
（１）代数的ファイバー束の間の全空間、ファイバー、底空間のベルグマン核の間の不等式を示しました。 これにより定量的に多重標準系の次元を下から評価することができるようになりました。具体的にはベルグマン核の間の不等式:全空間のベルグマン核 ≧ ファイバーのベルグマン核 × 底空間のベルグマン核,という不等式を示して、これを全体で積分することにより求める不等式を導きました。
（２）小平次元が０以上の射影代数多様体の飯高ファイブレーションの底空間に捻じれケーラー・アインシュタイン計量を付与した距離空間のモジュライ空間の構成を行いました。証明の要点はホッジ構造の変形の剛性を使うことで、これにより飯高ファイブレーションの底空間の上のホッジ構造が計量的に平坦な方向にしか変形せず、標準ケーラー構造の変形と底空間の滑らかなファイバーをサポートする部分（正則部分）の複素構造の開多様体としての変形と捻じれケーラー・アインシュタイン計量の変形が少なくとも局所的には一致することが従います。これにより、標準測度のモジュライ空間が複素解析空間として存在することが従います。このモジュライ空間の存在から射影多様体の上の射影族f : X →Y に対して全空間Xの小平次元κ(X)が0以上であれば、飯高予想の不等式 κ(X) ≧ κ(Y) + κ(X/Y) が成り立つことが従います。このことについては昨年11月に金沢市で行われた複素幾何シンポジウムで発表を行いました。このモジュライ空間は一般型代数多様体の標準モデルのモジュライ空間の支援な一般化になっており、例えば、モジュライ空間の小林双曲性などが期待されます。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
捻じれケーラー・アインシュタイン計量のモジュライ空間の構成が完了したことで重要なステップが埋まったと思います。最近のS.K YeungとW,K, To による対数標準束がアンプルな開代数多様体のファインモジュライ空間の小林双曲性の研究を見ると、捻じれケーラー・アインシュタイン計量のモジュライ空間の小林双曲性やモジュライ空間が対数一般型であることも研究の視野に入ってきました。
しかしながら、新型コロナウイルスの感染拡大により、年度末に予定していた出張が全て取りやめになったり、夏までの出張は全て中止または延期になっており、これから様々な影響が出て来そうで心配しています。
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| Strategy for Future Research Activity |
今のところ新型コロナウイルスの感染拡大が世界規模で続いていることから、出張の予定が全く立たない状況です。しかし、秋くらいには一時的に収束していることが期待されると信じて、研究連絡、共同研究などに活用したいと考えています。
既にシドニー大学のTaji氏、パリ第6大学のCao氏との共同研究のための出張が3月にとりやめになっており、これを実現することで、共同研究を進めて行きたいと考えています、T具体的にはTaji氏とは飯高ファイブレーションの底空間のモジュライ空間の小林双曲性の研究を始めていて、これを推進すること、またCao氏とは小平次元に関する飯高予想について共同研究を行っています。11月の金沢の複素幾何シンポジウムでの講演は決まっていますが、これも開催されるか不透明な状況で、共同研究も含め非常に困っています。また5月に新潟大学で開催予定だった国際シンポジウム「複素幾何学とLie群」でフランスのトゥールーズ大学のDan Popovici氏と会い研究討論を行う予定でしたが来年2月に延期になっています。こういった共同研究が新型コロナ問題で延期になっていますが、これを何とか実行したいと考えています。
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| Causes of Carryover |
これは2月、3月に予定していた海外出張（フランス、パリ第6大学、オーストラリア、シドニー大学）がコロナウイルス蔓延のため中止になったためです。このため、これらの出張を今年度中に代替実施したいと考えています。
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