2018 Fiscal Year Research-status Report
On the complement conjecture for knots in lens spaces
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18K03287
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
市原 一裕 日本大学, 文理学部, 教授 (00388357)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | トポロジー / 3次元多様体 / デーン手術 / 結び目補空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主な目的は，結び目理論研究の基礎となる問題「結び目補空間問題：同相な補空間をもつ結び目はいつ同値となるか」について，これまで様々な研究が進められている３次元球面を拡張するクラスであるレンズ空間の中の結び目に焦点をあて，双曲構造などの結び目補空間の幾何構造とLMO不変量やキャッソン不変量などの結び目不変量を融合的に用いて研究を行うことである。より具体的な研究目標は「レンズ空間内の結び目に沿った同値でない矯飾的手術（同相な多様体対を生成するデーン手術）の分類」であり，次の2点を明らかにすることである：(1)レンズ空間内の結び目に関して矯飾的手術予想（向きまで込めて互いに同相である3次元多様体対を生成する非自明なデーン手術は存在しないであろう）が成り立つこと。(2)レンズ空間内のどのような結び目が対掌矯飾的手術（互いに鏡像である3次元多様体対を生成するデーン手術）を許容するかということ。当該年度に得られた研究成果は，上記の(2)について，主に次の２つであった。一つは，結び目および絡み目のタイプを変えないバンド付加（banding）について，様々な例を構成し，それを元に対掌矯飾的手術を許容するが、補空間が鏡像対称性を持たない双曲結び目の例を初めて構成したことである。これはおよそ20年前に提起された予想の反例を与えるものであった。一方で，レンズ空間内の双曲結び目で補空間が鏡像対称性を持つよく知られた例について，バンド付加を用いて表すことにより，そのメカニズムを明らかにし，それを含む無限族を構成することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に述べたように，当該年度の具体的な目標である「(2)レンズ空間内のどのような結び目が対掌矯飾的手術（互いに鏡像である3次元多様体対を生成するデーン手術）を許容するか」について，結び目のバンド付加を利用することにより，新しい例を構成することができたことは重要な成果であり，本研究課題について，おおむね順調に進捗していると言える。一方で，「(1)レンズ空間内の結び目に関する矯飾的手術予想の解決」に向けては，有限型不変量やキャッソン不変量などの結び目不変量を用いた研究について，まだ現在進行中である。また，結び目補空間の双曲構造や非ーガード分解を用いた研究にも着手しており，さらなる進展が期待される。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的には研究計画に沿って研究を推進していく予定である。ただし，最新の研究動向を踏まえ，海外からの研究者招聘については，一部予定の変更など再検討をする。またコンピュータによる不変量の計算に向けて，研究集会「トポロジーとコンピュータ」の開催に関わるなど，より先進的な研究を取り入れることを考えている。具体的には，３次元多様体の双曲構造について，また関連してクライン群論や函数論について，専門的知識を深めたい。そのため，今年度に使用予定の旅費等を使用せず，次年度に使用する予定とした。
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| Causes of Carryover |
(理由)
最新の研究動向を踏まえて，研究計画にあったデスクトップ式コンピュータによる計算を次年度以降に行うことに変更した。そのため，計上してあったデスクトップ型コンピュータの購入を見合わせた。また次年度に海外からの研究者招聘を含む研究集会の開催を計画しており，そのため，国際研究集会への参加を一部見合わせ，旅費の一部を次年度使用とすることとした。
(使用計画)
変更した研究計画にあわせて，海外からの研究者招聘を再検討する。またあわせて関連する研究集会を開催を検討する。
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