2018 Fiscal Year Research-status Report

Moduli spaces of flat connections and uniformization of 4-orbifolds

Research Project

Project/Area Number	18K03289
Research Institution	Ritsumeikan University
Principal Investigator	福本善洋立命館大学, 理工学部, 教授 (90341073)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2021-03-31
Keywords	Donaldson理論 / Seiberg-Witten理論 / 4次元軌道体 / 一意化 / ホモロジー同境 / 負定値同境 / 平坦接続 / レンズ空間
Outline of Annual Research Achievements	本研究では，Donaldson理論とSeiberg-Witten理論の相補的関係を踏まえ，3次元多様体と結び目の組に対する同境圏の構造を研究し，4次元軌道体の一意化理論の構築を試みることを目的とする．2018年度は(2)管状の端を持つ4次元多様体と曲面の組の特異インスタントンのモジュライ空間の端の解析を課題として，これまでのレンズ空間または球面空間型の錐の特異点の対を1つ持つ軌道体の一意化に関する結果を3個以上の特異点を持つ場合へ拡張することを最優先の目標とした．これは管状の端を持つ4次元多様体上のインスタントン・モジュライ空間のトポロジーを考察し，無限遠方に逃げるインスタントンの極限としてSU(2)平坦接続を捉えるときに，モジュライ空間の向きを考察することで，平坦接続に関するより詳細な情報を抽出することによって遂行することができる．現時点において(2-1)4次元軌道体上のインスタントン・モジュライ空間における標準的な向きの定式化，並びに(2-2)可約な平坦接続におけるホロノミー摂動の定式化を行った段階であり，今後これらを応用して複数の特異点を持つ軌道体の一意化を試みる．さらに，レンズ空間との間に負定値同境が存在するような有理ホモロジー球面を特徴付け，それらの間の負定値同境上のU(1)平坦接続の存在を示す．また，課題(1-1)3次元多様体と結び目の組のスピン同境から構成されるスピン4次元軌道体に10/8不等式を適用し，3次元多様体と結び目の組のbounding genusの下界評価を得ること，および(2-5)3次元ホモロジー球体における2本タングルの3つ綾に対する零跡SU(2)表現空間の枕袋におけるLagrange部分多様体とその複素化の綾関係を考察することが2019年度における取り組みとなる.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 本年度は，レンズ空間との間に負定値同境が存在する有理ホモロジー球面を特徴付け，それらの負定値同境における対生成や U(1)平坦接続の存在を示すという課題に取り組むことを当初の計画としていた．然しながら，これまでのレンズ空間または球面空間型の錐の特異点の対を1つ持つ軌道体の一意化に関する結果を，3個以上の特異点を持つ場合へ拡張することが今後の一意化理論の構築において必要な段階であり，これを最優先の目標とした．そのため，4次元軌道体上のインスタントン・モジュライ空間の向き，および可約平坦接続の摂動といった技術的な問題に取り組むことに注力した．
Strategy for Future Research Activity	4次元軌道体上のインスタントン・モジュライ空間の向き，および可約平坦接続の摂動に関する定式化を踏まえ(0)3個以上の特異点を持つ軌道体の一意化を試みる．これに関しては極限に現れる可約平坦接続を調べることで遂行できる．さらに(1)レンズ空間との間に負定値同境が存在するような有理ホモロジー球面を特徴付け，それらの負定値同境上のU(1)平坦接続の存在を示す．この課題では整数重み付きグラフから鉛管操作によって構成される境界付き4次元多様体を用いる方法をとる．また，上記課題(1-1)については2-把手を用いた具体的な構成方法があり，課題(2-5)に関しては，Kronheimer-Mrowkaによる結び目のインスタントンFloerホモロジーの定式化を踏まえる．まずは課題(0)に関する一定の結論を見出し，直ちに課題(1),(1-1),(2-5)に取り組みたい．
Causes of Carryover	18年度は，これまでの4次元負定値軌道体の一意化に関する結果において，レンズ空間の錐の特異点が1対のみであるとする条件を外すために，4次元軌道体上のインスタントン・モジュライ空間の向き，および可約平坦接続の摂動に関する基礎的かつ技術的な問題の解決に注力した．これに従い，当初計画していた海外渡航による研究発表はこれらの基礎的な課題の解決以降に行うことが妥当であると判断したことによる．