2020 Fiscal Year Research-status Report

Moduli spaces of flat connections and uniformization of 4-orbifolds

Research Project

Project/Area Number	18K03289
Research Institution	Ritsumeikan University
Principal Investigator	福本善洋立命館大学, 理工学部, 教授 (90341073)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords	Donaldson理論 / 4次元軌道体 / 軌道体の一意化 / レンズ空間 / Seiberg-Witten理論 / ホモロジー同境不変量 / 結び目 / bounding genus
Outline of Annual Research Achievements	本研究では，4次元軌道体の一意化に向けたゲージ理論の応用として以下の課題に取り組んできた．(i) 3次元多様体と結び目の組のbounding genusの定式化と結び目理論への応用　(ii) 管状の端を持つ4 次元多様体と曲面の組の特異インスタントンのモジュライ空間の端の解析　(iii) 4次元軌道体の一意化理論の構築 (i) 松本幸夫氏の整ホモロジー3球面のbounding genusを，有理ホモロジー3球面とそのスピン構造，および整数rの組みに対するホモロジースピン同境不変量としてr-bounding genusを定式化し，Seiberg-Witten理論によるスプライシング分解に関する下界評価から鉛管型有理ホモロジー3球面のbounding genusの非有界性を示した．特に安部哲哉氏との共同研究により，3次元球面における結び目と有理数に対するr-bounding genusとして結び目のコンコーダンス不変量を定義し，Neumann-Siebenmann不変量との関係，松本氏の手術理論によるその上界評価，およびw-不変量による下界評価を得た．（「微分トポロジー'20」(2020/09/02)で発表） (ii)　Kronheimer-Mrowkaによる特異インスタントンのモジュライ空間の解析において，4次元多様体における曲面の周りで有理ホロノミーを持つ特異インスタントンを4次元軌道体上のインスタントンとみなして，その解析とモジュライ空間の標準的な向き付けに関する詳細な議論を行った．（「微分トポロジー'21」(2021/02/22)および「特異インスタントンとKhovanovホモロジー」(2021/03/22,23)で発表） (iii) 4次元軌道体の一意化に関しては，(ii)で行った特異インスタントンの解析を踏まえ，次年度においてはモジュライ空間の端の解析に着手する．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 研究課題(i) 3次元多様体と結び目の組のbounding genusの定式化と結び目理論への応用に関しては，取り組むべき課題は多いが，ある一定の成果は得られたものと考えられる．課題(ii) 管状の端を持つ4次元多様体と曲面の組の特異インスタントンのモジュライ空間の端の解析については，Kronheimer-Mrowkaによる特異インスタントンの解析の詳細を議論する必要があり，これに計画していた以上の期間を費やしたことによる．課題(iii) 4次元軌道体の一意化理論の構築においては，これまでの孤立特異点を持つ場合の結果を踏まえ，(ii)での解析を待つ必要があったことによる．
Strategy for Future Research Activity	これまでの研究課題(ii) 管状の端を持つ4次元多様体と曲面の組の特異インスタントンのモジュライ空間の端の解析を踏まえ，課題(iii) 4次元軌道体の一意化理論の構築においては特異曲面上でインスタントンのバブルが起きた後の状況も含めて詳細に調べる必要があり，今後はこの解析に取り組むことになる．
Causes of Carryover	2020年度では，米国インディアナ大学に滞在し，Paul Kirk氏との共同研究，および研究発表を行う予定であったが，この度のCOVID-19の世界的大流行を受け，渡航滞在を取りやめたことによる． 2021年度では，渡米滞在は困難であることを踏まえ，遠隔地間での研究打ち合わせや研究発表をはじめとする通信および電子的な研究環境構築等に使用する計画である．