2019 Fiscal Year Research-status Report
一般のリーマン多様体のラプラシアンの自己共役性ならびにリュービル性
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18K03290
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
正宗 淳 北海道大学, 理学研究院, 教授 (50706538)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | シュレディンガー作用素 / 保存則 / リュービル性 / 本質的自己共役性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では重み付きリーマン多様体上に定義されたシュレディンガー作用素の保存則に関する研究の当初の目標を達成し、論文として発表した（Math Ann）。主な研究結果は、古典的なラプラシアンの保存則の概念をシュレディンガー作用素に一般化し、それが成立するための必要十分条件をシュレディンガー作用素の楕円型方程式、また、放物型方程式の（あるクラスの）解についてのリュービル性で得た。これは、ラプラシアンの保存則の特徴付けであるカシミンスキー・テストが一般化された保存則に対しても成立することを示す。さらに、シュレディンガー作用素が保存的であることと、ある重み付きラプラシアンが保存的であることが同値であることが分かった。これは、シュレディンガー作用素のポテンシャルによる粒子の消滅とブラウン運動の拡散速度の間に密接な関係があることを示している。研究当初は全く予想しなかった新しい結果であり、今後の更なる研究が必要である。
本研究ではリーマン多様体上に定義された調和関数に関するL2-リュービル性とラプラシアンの本質的自己共役性に関する研究を発展させた。多様体が完備なら、これらの性質は成立することはよく知られているが、本研究では一般の非完備多様体上でL2-リュービル性とラプラシアンの本質的自己共役性をスペクトルギャップに関する条件、さらに、グリーン関数の局所的な可積分条件で特徴付けた。特に後者はこれらの性質と多様体の「非完備性」の新しい関係を与え、特に、特異集合が一点の場合は完全に分類した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
重み付きリーマン多様体上のシュレディンガー作用素の保存則の研究に関する当初の目標を完成した。さらに、るL2-リュービル性とラプラシアンの本質的自己共役性の研究を特異多様体上で展開することで、これら及び特異点の関係を部分的に明らかにした。
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| Strategy for Future Research Activity |
シュレディンガー作用素のポテンシャルによる粒子の消滅とブラウン運動の拡散速度の間に密接な関係があることが分かったが、これは研究当初は全く予想しなかった新しい結果であり、今後の更なる研究を行う。
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| Causes of Carryover |
令和元年度は一般化した保存則の研究の完成に注力したため、当初予定していたリュービル性の研究については遅れが生じた。一般化された保存則の研究は一段落は完成したため、令和2年度はリュービル性の研究に労力を割くことで遅れを取り戻す予定である。
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