geometric analysis of geometric flows

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03291
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 石田 政司 大阪大学, 理学研究科, 教授 (50349023)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: リッチフロー / 一般化された幾何学 / 一般化されたリッチフロー / 一般化されたリッチソリトン / 簡約体積

Outline of Annual Research Achievements

今年度も引き継ぎ、Generalized Ricci flow（以下、GRF）に関する研究を行った。今年度の研究成果は以下のように要約される。(1)GRFの重要な解の1つとしてgradient generalized Ricci soliton（以下、gGRS)と呼ばれる自己相似解がある。gGRSは、Ricci flow（以下、RF)の自己相似解であるgradient Ricci soliton（以下、gRS)の自然な一般化となっている。gGRS及びgRSにはsteady, shrinking, expandingの3つのタイプが存在する。gRSの場合、3つのタイプそれぞれに対してRFに沿って良い振る舞いをする汎関数を用いた特徴付けが存在する。しかしながら、gGRSの場合にはsteadyの場合を除いて汎関数を用いた自然な特徴付けはこれまで知られていなかった。今年度はこの問題に取り組み、結果としてshrinking及びexpandingの場合にも汎関数を用いたgGRSの自然な特徴付けが存在することを示した。(2)ここ数年に渡ってその理論の基礎を整備してきた、筆者によるGRFに対するGeneralized reduced volumeの理論（以下、GRVの理論）の基礎の再考察とその応用に関して進展があった。これは（1）で得られた結果に触発されたもので、Backward GRVの理論とForward GRVの理論はある意味で相補的な関係にあることが分かった。これは昨年度までは予想すら立てることが困難であった事であり、PerelmanによるRFに対するreduced volumeの理論の自然かつ非自明な更なる一般化の存在を示唆するものである。さらに、GRVの理論のoptimal transport（最適輸送理論）的視点からの解釈についても研究を開始する目途を立てることができた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

gGRSの汎関数を用いた特徴付けに関する結果はGRFの幾何解析に新しい視点を持ち込むもので、更なる応用や筆者によるGRVの理論との関連で今後の発展が見込めるものとなっている。その意味で、おおむね順調に進捗していると判断した。

Strategy for Future Research Activity

ここ数年に渡って整備してきた、筆者によるGRFに対するGRVの理論の基礎とその応用に関する考察をさらに深化させていくことが、今後の研究の推進のための最重要課題である。今年度の研究により、gGRSとの関連で、これまで視野に入っていなかった、より自然な枠組みの中で、GRVの理論を捉えなおす方向性が見えてきたので、その研究を続行する。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染症の影響で国内出張及び海外出張が大幅に減少してしまったことで、旅費として確保していた経費が使用できなかったことが主たる理由として挙げられる。今後は研究推進に必要な書籍などの物品を購入する予定である。さらに、今後の社会情勢を考慮した上で、国内および海外出張の旅費として使用する予定である。