geometric analysis of geometric flows

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03291
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 石田 政司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (50349023)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 一般化された幾何学 / 一般化されたリッチフロー / 一般化されたリッチソリトン / ハルナック不等式 / G2構造 / リッチフロー

Outline of Annual Research Achievements

研究成果は以下のように要約される。（1）Generalized Ricci flowに沿った非線形を持つ共役熱方程式の解に対する微分Harnack不等式を証明した。この結果は、Ricci flowに対して証明されていた非線形共役熱方程式の解に対する微分Harnack不等式の自然な拡張になっている。また、Ricci flowに沿った線形共役熱方程式の解に対する微分Harnack不等式は二つのタイプが存在しているが、二つのうち一つのタイプの微分Harnack不等式についてもGeneralized Ricci flowの場合に拡張した。(2) Generalized Ricci flowの自己相似解であるgradient generalized Ricci solitonの自明性に関する研究を行った。ここでsolitonが自明とはポテンシャル関数が定数となる場合のことを指す。閉多様体上のgradient generalized Ricci solitonは、最近の研究により、steadyの場合以外、即ちshrinkingまたはexpandingの場合は従来のgradient Ricci solitonになってしまうことが判明しており、Generalized Ricci flowの自己相似解としてはsteadyの場合が特に興味深い研究対象となっている。閉多様体上のsteady generalized Ricci solitonが自明であるための必要十分条件を求めた。さらに、完備な非コンパクト多様体上でも、steady generalized Ricci solitonが自明であるための必要十分条件を求めた。　(3)昨年度行ったG2-Laplacian flowに関する研究の応用として、スカラー曲率の有界性の下、G2-Laplacian flowに沿った多様体の直径評価を証明した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究成果（1）については、二つのタイプのうち片方の微分Harnack不等式が未知のものとして残ってはいるものの、もう片方のタイプの微分Harnack不等式を証明できたことは意義がある。研究成果（2）については、特に完備な非コンパクト多様体上のsteady generalized Ricci solitonの構造についての系統的な研究はこれまでほとんど行われておらず、特に新規性が高いと考えられる。　研究成果（3）については、昨年度行った研究成果の興味深い応用としてG2-Laplacian flowに沿った多様体の直径評価を証明できたことは意義がある。

Strategy for Future Research Activity

Generalized Ricci flowに沿った線形共役熱方程式の解に対する片方のタイプの微分Harnack不等式の証明が、今後の研究の推進には欠かせない。これまで整備してきたgeneralized reduced volumeの理論の主たる応用として証明を完成させることを目指す。さらに、完備な非コンパクト多様体上のsteady generalized Ricci solitonの構造およびG2-Laplacian flowの研究に関してもまだやるべきことが多く残されているので、その研究にも注力する。

Causes of Carryover

出張が取りやめになったことで旅費として確保していた経費を使用できなかったことが主な理由である。次年度は、出張旅費および研究推進に必要なPC備品および書籍などの物品の購入費として使用する予定である。