2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03293
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
梶浦 宏成 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (30447891)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ホモトピー代数 / ミラー対称性 / 三角圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はトーリック多様体のホモロジー的ミラー対称性についての研究に着手した。より正確には、トーリック多様体を複素多様体とみたときのホモロジー的ミラー対称性を考えている。通常のカラビ・ヤウ多様体のホモロジー的ミラー対称性は、複素多様体上の連接層の導来圏と、そのミラー対称なシンプレクティック多様体上の深谷圏の間の等価性として定式化されるが、複素多様体側がカラビ・ヤウでない場合、複素多様体から定義されるランダウ・ギンツブルグポテンシャルによるリフシッツファイバー束の一般的なファイバー上の深谷圏の類似物である深谷・ザイデル圏を考え、ホモロジー的ミラー対称性はその深谷・ザイデル圏と複素多様体上の連接層の導来圏の等価性として定式化することが提案されている。これについていくらかの例で肯定的な議論が行われているが、現状ではなぜそのホモロジー的ミラー対称性が成り立つのかという問いに答えることができるような議論がされていない。一方、カラビ・ヤウ多様体のホモロジー的ミラー対称性については、コンツェビッチ・ソイベルマンによるトーラスファイバー束を用いた議論があり、この方針で実際にホモロジー的ミラー対称性を示すことはかなり困難であるが、それがなぜ成り立つのかということの答えとなるようなものである。本研究では、この方針をトーリックのホモロジー的ミラー対称性に適用することを考える。まずは深谷・ザイデル圏ではなく、トーラスファイバー束の立場からより直接的に表れる深谷圏の代用物を定式化することとなり、それと複素多様体上の連接層の導来圏が一致することをみたい。現在ではトーリック多様体が射影空間やそれらの直積のとき、そしてヒルツェブルフ曲面F１の場合あたりでうまくいくことが分かってきている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の二つの大きなテーマである、深谷圏のA∞構造の具体的構成と、例外的生成系を持つ三角圏のA∞増強の構造の解明の共通部分に問題が設定でき、それがかなり進展して、その結果はなかなか興味深いものである。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究は今とても良い状況にあるので一年以上は今の研究を進めることになると思われる。
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| Causes of Carryover |
年度末に新型コロナウイルスの影響で出張することも人を呼ぶこともできなくなった。今後はそのウイルスの影響について様子を見ながら最終年度まで長期的にみて計画を練る。
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