ホモトピー代数の表現論と幾何学

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03293
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 梶浦 宏成 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (30447891)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ホモトピー代数 / ミラー対称性 / 三角圏

Outline of Annual Research Achievements

前年度に引き続き，複素多様体側がトーリック多様体のときのホモロジー的ミラー対称性をトーラスファイバー束のミラー対称性の設定において具体的に示す研究を行い，それらの議論の一般化について考察した．より具体的には，まず複素多様体であるトーリック多様体をトーラスファイバー束とみなし，Strominger-Yau-Zaslow に従ってファイバーのトーラスについて双対をとることによってミラー対称なシンプレクティックトーラスファイバー束を構成し，トーリック多様体上の連接層の導来圏と，双対トーラス束においては深谷圏の類似物としてモースホモトピーの圏を考えて両者を比較する．
今までトーリック多様体の典型例である複素射影空間，それらの直積と，複素射影平面の一点ブローアップに対応するヒルツェブルフ曲面の場合についてのホモロジー的ミラー対称性を肯定的に議論したが，本年度は研究協力者の中西隼人氏はトーリックファノ曲面すべてにおいてこれが成り立つことを示した．ただし，これが成り立つために，シンプレクティック幾何側のモースホモトピーの圏の定式化を少し修正する必要があることも分かった．
また，研究協力者の西田安寿菜氏は特異点を１つ持つ射影直線の場合に，通常の射影空間などの場合と同様にホモロジー的ミラー対称性が成り立つことを示した．現在，この結果の，より広いクラスの特異点を持つトーリック多様体の場合への拡張を行っている．
一方，特異点の圏と呼ばれるものと同値である行列因子化の圏の変形問題についての研究も開始した．特異点がA型のときについて圏の変形の具体的構成についていくらかの例がある．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

２つの方向について明確な結果が得られ，これらを含めて各方向の研究が進展している．

Strategy for Future Research Activity

圏の変形問題についてはまだ始まったばかりであるのでこのままできるところまで進める．
トーラス束のホモロジー的ミラー対称性の研究については，今後シンプレクティック幾何側のモースホモトピーの圏を，深谷－ザイデル圏との関係などを交えてより深く理解していく必要がある．

Causes of Carryover

研究会開催を予定していたほどできなかった．
次年度の研究会開催，バイアウトや，研究設備の充実のために使用する予定である．