2022 Fiscal Year Research-status Report
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18K03296
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| Research Institution | Nagoya Institute of Technology |
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Principal Investigator |
平澤 美可三 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (00337908)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 結び目 / ザイフェルト曲面 / ファイバー曲面 / 多項式不変量 / 多項式の零点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き、結び目の幾何学的な性質について研究している．
ジュネーブのQ・ホングラー氏との共同研究により、絡み目のファイバー曲面を、それ上のループに沿って手術し、新たなファイバー曲面を構成する手法を調べた． これまでに知られているストーリングス捻り、およびその一般化であるハーラー捻りを調べ、更なる拡張を行い、またそれが最良であり、それ以上の拡張は得られないことを証明した．この新たなツイストにより、これまで知られていたファイバー曲面やファイバー曲面の変形操作についても新たな知見が得られ、国際集会で発表した．
A'Campo によって導入された Divide の結び目について、 トロント大学の村杉氏との共同研究を行なった．とくにスラロームに次ぐ基本的なクラスを二つ定義し、そのアレクサンダー多項式の形や、零点の配置について調べた． クラス１は意外なことに、torti-rational knot の特別なクラスになった．アレクサンダー多項式が中央の係数だけが突出する単峰形をしており、またその零点が複素平面内の単位円周の付近に綺麗に並んでいる状況を確認した． 期待と違って bi-stable になることはなかったが、それとは別に興味深い形をなすことがわかった．クラス２では、係数列の中に等差数列が部分的に現れるという不思議な現象が見出され、そのことが、多項式を変数変換したときにチェビチェフ多項式の類似を投入するという手法の開発に繋がった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ禍にあって、出張（特に計画していた海外出張）が行えず、共同研究に遅れが生じている．
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| Strategy for Future Research Activity |
結び目の張るザイフェルト曲面、特にファイバー曲面に注目し、その性質や、それを用いた多項式不変量の研究を続ける．
アレクサンダー多項式の零点について、divide 結び目との関連について調べる．とくにファイバー曲面から得られるモニックな多項式に注目し、サーレム結び目になっていることを証明する．即ち、その零点が一組の実根を除いて全て単位円周上に現れる状況になることを示す．特になぜそのような現象が起きるのかを解析する．これまで詳細に調べてきた２橋結び目については、サーレム結び目になるものは特に顕著な性質をもっているクラスを除いては離散的に少数が見つかっているだけであり、サーレム結び目の具体例の量産にもつながると期待される．
ファイバー曲面の不変量であるルドルフ不変量について、それが負になる物の構成法はすでに見出しているが、その現象の理解を深め、特に全ての値を実現する自然なクラスを構成し、ホップバンドのつけ外しによる証明の他に、ルドルフやノイマンが開発した手法によって調べられないかを調べる．
結び目補空間のファイブレーションを行うにあたっての臨界点について、その動きと、それが成す絡み目の構造について調べる． 特にルドルフ不変量との関連からファイバー曲面の形との関連を理解する．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍にあって、出張（特に計画していた海外出張）が行えず、共同研究に遅れが生じている．
様子を鑑みながら出張を再開して共同研究を完成させるとともに、成果の発表を行う．
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