2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03298
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
横田 巧 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70583855)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 測度距離空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に小澤龍ノ介氏（大阪大学）との共同研究で得られていた、測度距離空間の列が集中したときのリーマン的曲率次元（RCD）条件の安定性に関する定理の証明を完成させ、論文を雑誌に投稿した。この定理は、曲率次元（CD）条件を満たす測度距離空間における Cheeger エネルギーの幾何学的表示を用いて、CD条件を満たす測度距離空間の列が集中したときの Cheeger エネルギーのΓ収束を示すことで証明した。これらは、より強い収束の場合の Gigli-Mondino-Savare らによる結果の拡張でもある。
RCD条件は、Ambrosio-Gigli-Savare が導入した測度距離空間に対して定義される曲率条件であり、Lott-Villani と Sturm が導入した最適輸送理論に由来するCD条件を強めたものである。測度距離空間の集中とは、Gromov が導入した測度距離空間の列の収束の概念の一つであり、測度付き Gromov-Hausdorff 収束などよりも弱い収束である。
また、RCD条件を満たす測度距離空間の列が集中したときの Cheeger エネルギーの Mosco 収束も証明した。Mosco 収束はΓ収束よりも強い収束である。証明にはRCD空間で成り立つ熱流の性質を用いた。この Mosco 収束を用いて、RCD空間のラプラシアンのスペクトルが離散的になるような適当な仮定のもとで、RCD空間の列が集中したときのラプラシアンの固有値の連続性も証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
適当な仮定のもとで、RCD空間が集中したときのラプラシアンの固有値の収束など、幾つかの成り立つべき定理が証明できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も引き続き、主に測度距離空間の収束・集中など、（測度）距離空間の幾何学について研究していく。
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