2018 Fiscal Year Research-status Report
Singularity theoretic study of surface singularities
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18K03301
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (70451432)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 特異点 / 波面 / 平均曲率 / カスプ辺 / ツバメの尾 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
特異点の判定法を応用し、ミンコフスキ空間内の平均曲率一定曲面の双対曲面に現れるカスプ特異点の特徴付を行った。ツバメの尾特異点の像域の等距離写像のみを用いた標準形を構成した。この標準形では、構成の仕方から現れる係数がすべて微分幾何的不変量となる。この不変量と、既知の微分幾何的不変量との関係を調べた。
また、ツバメの尾付近でのジェネリックな漸近線・特性線の振る舞い方は３種類であることを示し、さらに３種類のどれになるかの条件を与えた。
また、カスプ的交差帽子を保存する関数の性質を調べた。接分布の間の束準同型に対して、ファイバー上で同型写像を与えていない点を束準同型の特異点と定義し、先行して研究していた束準同型のモラン型特異点となる条件が接分布とどのような関係となるかを調べ、次元が低い場合にジェネリックな分類を与えた。
波面の平均曲率は常に発散することが知られていたが、平均曲率に面積密度関数を掛けるとなめらかな関数になることを示し、与えられた平均曲率を持つ回転面に関する剱持の結果を特異点付きの曲面に対して与えた。さらに波面の平均曲率の振る舞い方を詳細に分析し、波面の平均曲率になりうるような関数を与えた場合に平均曲率がその関数になるような波面の構成法を与えた。これは正則曲面の場合の剱持、國分の結果の発散する関数と特異点つき波面の場合への拡張である。
さらに、型変化する曲面の型変化集合を特異点とみなし、これまで特異点に定義されてきた微分幾何学的不変量を定義し、そのふるまいを調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
特異点の判定法を応用し、ミンコフスキ空間内の平均曲率一定曲面の双対曲面に現れるカスプ特異点の特徴付が得られたことは大きな成果といえる。また、一つの研究の目標であったツバメの尾特異点の像域の等距離写像のみを用いた標準形が構成できたことも大きな成果である。これにより、ツバメの尾特異点の微分幾何的性質の理解がかなり進んだと思われるし、今後の研究において非常に有効に使えると思われる。さらにツバメの尾付近でのジェネリックな漸近線・特性線の振る舞い方はダビドフによって得られた３種類のタイプであることがわかった。カスプ辺の場合はこの３種類は出現せず、判別式がモース関数となるようなものがジェネリックに出現することがわかっていた。カスプ辺とツバメの尾での漸近線・特性線の振る舞い方が大きく異なることを明らかにできた意味は大きいと思われる。
他にもカスプ的交差帽子を保存する関数や接分布の間の束準同型に対していくつかの結果を得ることができた。
また、平均曲率に面積密度関数を掛けるとなめらかな関数になることがわかり、これを用いて与えられた平均曲率を持つ回転面に関する剱持の結果を特異点付きの曲面に対して与えることができた。さらに波面の平均曲率になりうるような関数を与えた場合に平均曲率がその関数になるような波面の構成法を与えることができた。
研究計画として挙げた計画に沿って結果が得られていること、また研究計画ではまだ具体的な研究につながるか不明であった研究が実際に遂行できていること、これらは次の研究につながっていくであろうことから、研究はおおむね順調に進展していると判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き研究計画に沿って曲面の特異点の研究を行う。
昨年行ったベクトル場と関数の関係の研究を接分布に拡張し、波面の余階数が1より大きい特異点との関係を調べる。接分布が完全積分可能であれば接分布と関数の関係は波面を構成する際に有効であるパラメーターを保存する同値関係であることがわかる。したがって接分布が完全積分可能でない場合が重要となる。この場合も波面の理論をもとに、接分布と関数との関係の普遍性などを定義して、計算可能な関数の臨界点の条件と普遍性などの条件を与える。そして、与えた条件と波面の特異点との関係を調べる。
また、型変化する特異点付きの曲面に対して、昨年行った正則曲面の研究を参考にして様々な不変量を定義するが、特異点の集合と型変化する集合の関係が重要になると思われるため、それらの幾何的配置をよく見ながら研究する。与えられた平均曲率をもつ特異点付き回転面について、得られた曲面の性質をさらに研究する。同様に波面の平均曲率になりうるような関数を与えた場合に平均曲率がその関数になるような波面も得られた波面の性質をさらに研究する。具体的には回転面や周期的となるための条件を調べる。また、この構成法では積分可能条件が複雑であり、効率よく波面を構成できるとまでは言い難い部分がある。この部分の改良を試みる。
他にもルジャンドル双対を用いた曲線の双対曲面の特異点や関数の分岐に現れる特異点の判定法、平面写像の余階数2の特異点の計算しやすい判定法などを研究する。
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| Causes of Carryover |
研究連絡を効率的に行ったところ出張回数を減らすことができた。
また、研究の流れとして、研究連絡をせずにしばらく各個人で研究をしたほうが進展する状況であったので、予定していた出張をとりやめ、今年度初頭に出張して研究連絡することにした。
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