2019 Fiscal Year Research-status Report
Singularity theoretic study of surface singularities
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18K03301
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (70451432)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 特異点 / 特異点の微分幾何 / 判定法 / 型変化曲面 / リボクール変換 / 曲率線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
波面またはフロンタル曲面の曲率線座標についての研究を行った。曲率線座標は波面に対しては存在が知られているが具体的な表示はなかった。また、曲率線座標のことを突き詰めると座標ではなく、曲面に沿った枠場であり、曲面の方向微分と単位法線ベクトルの方向微分が一次従属になるようなものとして定義することが自然であるとの結論に達し、この枠組で曲率線枠という概念を導入してその存在性とふるまいを調べた。特に、カスプ辺のような辺の上に沿って特異点が現れる場合に曲率線枠が存在するための必要十分条件を特異点の条件とその微分幾何学的情報を用いて表示した。これを応用して、曲率線座標の概念が必要なため正則曲面の場合のみが研究されてきたリボクール変換を曲率線枠を用いて特異点をもつフロンタルに対して定義を拡張し、リボクール変換の方程式も与えた。
ミンコフスキー空間内の型変化する曲面を曲面の特異点としてとらえ、特異点の曲率に関する研究成果を応用して型変化点に対して微分幾何学的不変量を定義して発散のオーダーを調べた。また、型変化点の接平面は光的方向を含むため、型変化点の集合が曲線である場合はその接線方向と光的方向からなる枠を定義することができる。これを用いて型変化する曲面を近似する曲面を構成した。
特異点付きのモデル曲面としてカスプ辺を用いて特異点付き曲面の幾何を研究した。零点集合がカスプ辺となる関数を空間内で考え、その中に与えられた特異点付き曲面との合成がどのような特異点になるかの条件を特異点付き曲面がスワローテイルの場合に詳細に与えた。
また、カスプ辺の誘導計量の性質を調べ、カスプ辺の異性体と折り紙写像の関係を明らかにした。他にも曲面の射影と輪郭線の幾何、与えられた曲率をもつ回転面、カスプ辺以外の特異点に対する特異曲率の類似物の研究などを行った。さらに平面間の写像に現れる階数0の特異点の使いやすい判定法を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
曲率線座標の概念を特異点付き曲面でも定義できる形に拡張できた。これにより、リボクール変換を定義することができた。さらにミンコフスキー空間内の型変化曲面の微分幾何的不変量を定義し、かなり詳細な性質を明らかにできた。また、特異点付きモデル曲面やカスプ辺の異性体と折り紙の研究など当初の計画通りに研究が進展した。したがって概ね計画通り順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度の成果である曲率線枠の研究をさらに推進する。波面でないフロンタルの場合に曲率線枠とその積分曲線の振る舞い方と特異点の微分幾何学との対応を明らかにする。そのためにまずはスワローテイルがフロンタルに退化した特異点の使いやすい判定法を作るところから始める。条件は退化方向と特異点曲線の接触はスワローテイルと同様であり、特異点曲線に沿ってフロントでなくなる条件が非退化という条件であると予想できている。この条件が判定法を与えることの証明を与える。さらにこの証明はスワローテイル様の特異点の研究を進展させることができると考えられる。また、平面間の写像に現れる階数0の特異点の使いやすい判定法の応用も研究する。この特異点は平面動力学モデルの軌跡に現れることが知られており、それへの応用は重要な研究になる可能性が非常に高い。
ミンコフスキー空間内の型変化する曲面の特異点論的研究に関してはスワローテイル様の型変化の場合は重要であるにもかからわず、まだ研究が進んでいない。特異点のところで型変化を起こしている場合、光的方向による微分を定義することができない。マルグランジュの予備定理を用いてこの問題点を解決する。この問題が解決できれば型変化曲面の研究は大きく進展するはずであり、今年度はこの問題にまず取り組む予定である。
特異点付き曲面のリボクール変換についてリボクール変換で得られた曲面の特異点はもとの曲面のリボクール変換に関する性質を反映しているはずである。昨年度の研究の応用としてこれらの関係を明らかにする。また、焦面の微分幾何的研究を行う。焦面は関数の零点集合として定義されるので、関数のジェットを等長写像を用いてなるべく簡単に表示する手法を使えば調べることができる。他にもカスプ辺の誘導計量と異性体の研究、曲面の射影と輪郭線の幾何などの研究も並行して行う。
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| Causes of Carryover |
コロナウィルスの影響で対面による研究連絡を予定していた出張がひとつなくなった。
しっかり事前準備を行い、コロナウィルスの影響がなくなり次第予定していた対面による研究連絡およびその後の研究進展に関する連絡を行い、当初の研究計画から遅れがないように研究を遂行する。
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