2022 Fiscal Year Research-status Report
Singularity theoretic study of surface singularities
| Project/Area Number |
18K03301
|
|---|
| Research Institution | Kobe University |
|---|
Principal Investigator |
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 特異点 / 判定法 / 波面 / 漸近線 / 特性線 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
引き続き研究課題を達成するためによく現れる特異点から順に特異点判定法の研究と曲面の特異点の近くでの微分幾何的不変量の研究を行った。低次元多様体間の写像によく現れる特異点のうち、余階数が1となるものには特異点集合上で微分の核を生成するベクトル場が常に定義できるが、そのベクトル場と特異点集合を与える関数の接触を昨年までのものより、さらに調べ退化した特異点に対して適用できる理論の模索を行った。その際、関数の高次に退化した臨界点の認識が必要となったため、理論を整備して使いやすくした。余階数が2以上の波面と平面間の写像に対しては前年度に実施した特異点集合上で微分の核を生成するベクトル場の挙動を調べた。余階数が2以上であることからベクトル場は複数となるが、そのようなベクトル場が定義可能となる条件を調べ、そのようなベクトル場とヤコビ行列式との接触と特異点の性質との関係を調べた。
特異点を持つ回転面で与えられた平均曲率を持つものの構成問題に対して錐状特異点となる場合が未解決であるがこの場合に対して因子の補題を適用して引き続き解決を図った。さらに与えられた発散することを許す対称性を持つ平均曲率を持つ特異点付きの曲面の対称性を調べ、曲面が反転対称性を持つための条件を得た。余階数が2の関数の分岐集合のパラメーター表示について、D4特異点の場合と似たブローアップをとることによりパラメーター表示を与えることに成功した。それを用いてガウス曲率と平均曲率さらに、漸近線と特性線の振る舞いを調べた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
コロナ禍のために今年度前半は予定していた出張がほとんど行えなかった。特に海外には行く状況ではなく、予定していた外国人研究者との黒板を挟んでの直接討論が行えなかった。ただし、後半には国内出張が何回かできた。また、RIMS訪問滞在研究「特異点特別月間」および、MSJ-SI2022が行われ、外国人研究者が何人か来日した。そのため、それらの会議に出席して必要な研究連絡を行った。また、オンラインでは幾度か研究連絡を行い、今後の課題や推進について意見交換は行えた。個人での研究に関しては同様に行うことができた。
これらにより、低次元多様体間の写像によく現れる特異点のうち、余階数が2以上の波面と平面間の写像に対して前年度に実施した特異点集合上で微分の核を生成するベクトル場の挙動を調べ、それが定義可能となる条件を調べた。また、与えられた発散することを許す対称性を持つ平均曲率を持つ特異点付きの曲面の対称性の条件を得た。余階数が2の関数の分岐集合のパラメーター表示について、D4特異点の場合と似たブローアップをとることによりパラメーター表示を与え、ガウス曲率と平均曲率さらに、漸近線と特性線の振る舞いを明らかにした。
このように個人での研究は適切に進展させられた。また、共同研究に関しては予定していた直接討論ができなくても推進できる部分にしぼって研究することにより、研究全体としてみると、当初の予定程度には研究を進展させることができた。
|
| Strategy for Future Research Activity |
引き続き研究課題を達成するために特異点判定法および特異点の微分幾何学の研究を行う。そのために当初の計画に従い、必要な特異点論の整備を行う。マルグランジュの予備定理に関して、この命題を二変数関数の場合に進化させ、因子の補題を二変数関数をくくることができる補題に作り変える計画は未解決であり、この実現をまずは目指す。これにより、余階数が2以上の特異点に対しても単位法線ベクトルを構成する条件を具体的に書くことが可能になる。これができれば特異点の近くでの微分幾何的不変量の研究が飛躍的に進展するため、優先して取り組む。さらに、これを用いて特異点の近傍での多重方向場方程式を書き下して特異点近辺での微分幾何的模様を研究する。
特異点を持つ回転面が錐状特異点を保つ場合、回転対称性を2次のジェットまでに緩めることにより、このような性質をもつ錐状特異点の一般的パラメーターを与えて総合的に研究することにより調べる。曲面上の曲線と枠を用いた可展面に関して、曲面同士を張り合わせる場合に張り合わせ方に応じた枠を考えることにより可展面を構成することができ、その特異点は貼り合わせの微分幾何的特徴を表していると考えられる。可展面は線織面なのでこれは半離散的曲面に現れる。この可展面がスワローテイルやカスプ的交差帽子を持つための必要十分条件を与えて貼り合わせの性質を調べ、半離散的曲面の研究への応用を推進する。また、特異点の射影に現れる輪郭線に関するd'Ocagne型の定理を更に調べる。
コロナ禍によって滞っていた共同研究者との直接討論も再開する。必要に応じて、回転面の錐状特異点やミンコフスキー空間内の曲面については寺本・本田氏、特異点の微分幾何学では梅原氏・山田氏およびOset Sinha氏・Nuno-Ballesteros氏との研究討論を行い、研究を推進する。
|
| Causes of Carryover |
コロナ禍のために予定していた出張がほとんど行えず、今年度は個別の研究と遠隔での議論による研究を主とし、直接の討論はコロナ感染状況が落ち着いた後で行うこととした。遠隔の機器はここまでのコロナ禍で環境がかなり整ったために整備する必要がなく、次年度使用額が生じた。今年度はコロナ感染状況が落ち着きそうであるので、コロナ禍によって滞っていた梅原氏・山田氏および高橋氏との黒板を挟んでの直接研究討論のための出張に用いて、波面の微分幾何や枠付き曲線・曲面の微分幾何学に関する議論を行う予定である。
|
