2018 Fiscal Year Research-status Report
Constructing geometric representations of finite groups through equivariant topology
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18K03304
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
鍛冶 静雄 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 准教授 (00509656)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 同変トポロジー / ワイル群 / 旗多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
トーラスなどの良い群作用を持つ空間のトポロジーは、しばしば離散的対象を用いて記述できる。例えば、旗多様体はワイル群や対称多項式、トーリック多様体は多面体や単体複体を用いて、多くの構造が明らかにされてきた。また逆に、組み合わせ論の問題が、これらの対応を通して空間レベルに持ち上げられることで、トポロジーを用いて解決される例も多い。このように同変トポロジーの一つの側面として、トポロジーと他の分野を繋げ、様々な道具立てを使って空間の構造を調べること、逆に空間のトポロジーに帰着することで、他分野の問題を解決することが挙げられる。本課題では、旗多様体と実トーリック多様体を、対応するワイル群や単体複体と関連づけて調べることが主な目的である。ホモトピー論の手法を用いて、組合せ論の道具を空間へ持ち上げて適用する手段の開発を目指す。
本年度は、旗多様体の懸垂空間を、簡単な空間の一点和へホモトピーの意味で分解することを考察した。そのために、ワイル群の群環における idempotent と unstable Adams operation をホモトピー型のレベルに持ち上げて融合するという手法を用いた。得られた結果の応用として、旗多様体から自分自身への写像全体のなすホモトピー集合を計算する方法を与え、いくつかの具体例について決定した。この成果は論文で発表した。またワイル群の群環における計算を行うコンピュータープログラムを開発し、誰もが利用できるよう公開した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
以前は旗多様体上のループ空間を、ホモトピーの意味で簡単な空間の直積に分解する手法を考察したが、本年度の研究は、それと双対をなし、旗多様体上の懸垂空間のウェッジ和への分解を与えた。これらの結果を合わせ、旗多様体のホモトピー型に関する理解が進んだ。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度以降は、ワイル群に付随する実トーリック多様体のコホモロジーを考察する。これまでに、A型B型の場合には、ワイル群の表現として有理コホモロジーを決定しているが、続けて環構造を考察する。コホモロジーはワイル群に付随する単体複体の組合せ論を反映し、オイラーのジグザグ数列と呼ばれる対象で添え字づけられるため、トポロジーから定まるコホモロジーの環構造は、これらの数列の間の積構造となり、組合せ論の立場からも興味深い。
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| Causes of Carryover |
海外から共同研究者を長期で招聘する予定であったが、ビザ取得の問題で日程が大幅に変更された。
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