2019 Fiscal Year Research-status Report
Research of submanifolds in symmetric spaces and their time evolution along various curvature flows
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18K03311
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
小池 直之 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (00281410)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 平均曲率流 / 部分多様体 / 対称空間 / ゲージ理論 / カラビ・ヤウ多様体 / 特殊ラグランジュ部分多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年度は、主に、次の３つの研究を推進させた。
１. 概自由なヒルベルトリー群作用を備えた可分なヒルベルト空間内の（その群作用に関して）不変な水平凸超曲面を発する正則化された平均曲率流に関する崩壊定理のゲージ理論への応用に関する研究を推進した．将来的に，コンパクトリーマン多様体上のコンパクト半単純リー群を構造群にもつ主バンドルのヤン・ミルズ接続，自己双対接続等のモジュライ空間の特異点(これはreducibleな接続のゲージ同値類)を，接続の空間内のゲージ不変な超曲面を発する正則化された平均曲率流を用いて研究するという新しい研究分野を開拓する予定であり，その先がけとなるその流れに沿うホロノミー集中現象に関する研究結果を上述の崩壊定理を含めた論文としてまとめ，現在、ある学術雑誌に投稿中である．
２．コンパクト型リーマン対称空間G/Kの複素化上のG不変なカラビ・ヤウ構造の新しい構成法を与えると共に，そのカラビ・ヤウ多様体内の特殊ラグランジュ部分多様体の構成法を与えた。この研究結果をまとめた論文は、既に，Illinois Journal of Mathematics(vol. 63 (2019), 575-600)に掲載されている．
３．コンパクトリーマン多様体の等長類全体からなる集合上で，Gromov-Hausdorff距離に類似した距離をリーマン部分多様体幾何学の立場から定義し，その距離をリッチ流の研究に有効利用するという研究を始めた．現在，この研究の先駆けとなる論文を作成し，arXivにアップしている（近々，学術雑誌に投稿する予定である）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要欄に記述した通り、おおむね順調に研究を推進させることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要欄に記述した通り，主バンドルのヤン・ミルズ接続，自己双対接続等のモジュライ空間の特異点(これはreducibleな接続のゲージ同値類)を，接続の空間内のゲージ不変な超曲面を発する正則化された平均曲率流を用いて研究するという新しい研究分野を開拓する予定であり，既に示したその先がけとなるその流れに沿うホロノミー集中現象に関する研究結果を用いて，上記のモジュライ空間の特異点の研究を推進したいと考えています．
また，コンパクト型リーマン対称空間G/Kの複素化上のG不変なカラビ・ヤウ構造の構成，及び，そのカラビ・ヤウ多様体内の特殊ラグランジュ部分多様体の構成に関する研究については，完備なカラビ・ヤウ構造とコンパクトな特殊ラグランジュ部分多様体の構成法について研究を推進したいと考えています．
また，リーマン多様体の等長類全体からなる集合上のGromov-Hausdorff距離に類似した距離に関する研究については，この距離を有効利用して，リッチ流に関する研究結果を導出したいと考えています．
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| Causes of Carryover |
次年度に、数名の外国の研究者を招聘する予定であり，また、いくつかの国内出張と海外出張を予定しているため。
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