2018 Fiscal Year Research-status Report
Study of Foliations and Group Actions
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18K03312
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
松元 重則 日本大学, 理工学部, 名誉教授 (80060143)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
平田 典子 (河野典子) 日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 極小集合 / 左不変順序 / 力学系的実現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下で群といえは加算群のこととする。群 G 上の全順序 < で群の左作用により不変なものを左不変順序という。その全体のなる空間 LO(G) は、離散なコンパクト距離空間をなす。左不変順序 a に付随して、群 G の実直線 R 上への作用 p を定めることができる。これは基準点 b 上自由な作用であり、G の元 g, h が g < h であるとき、p(g)(b) < p(h)(b) を満たす。この作用 p を順序 a の力学系的実現という。さて、ある順序 a が LO(G) の点として孤立しているとき、a を孤立順序という。孤立順序の力学系的実現は、ある種の剛性を有する。このため、孤立順序の研究は、興味深い。これに関して、我々は次のような結果を得た。（１）孤立順序の力学系的実現 p はコンパクトな基本領域 F をもつ。つまり、p の任意の軌道は F と交わる。このとき作用 p は極小集合 M を持つ。（２）極小集合が直線全体の時、G は可換であり、有理数全体のなす加法群の中に埋め込まれる。（３）a を孤立順序とするとき、G の a-凸部分群は有限個に限られる。ここに G の部分群 H が a-凸であるとは、 g < f < h かつ g と h が H の元であるとき、f もまた H の元であることを言う。
孤立順序の例としては、ブレイド群 B_n 上の Dubrovina-Dubrovin 順序が有名であるが、B_3 上には加算無限個の、互いに自己同型写像で移りあわないものがあることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要欄に述べた、加算群の孤立左不変順序の研究は、さらに進展して、ブレイド群 B_3 の孤立左不変順序の分類を得るところまでに至った。
また、松田能文氏との共同研究において、Thompson 群 F は invaribly generated であることを証明することができた。つまり、F の部分群で、全ての元に対し、その共役元を含むものは F に限る。
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| Strategy for Future Research Activity |
ここ数年の研究代表者の研究は、群の１次元多様体（直線、円周）への作用に限られている。再度、葉層構造の研究に立ち返ってみたいとも、考えている。具体的には、２次元の双曲曲面を葉とする多様体の研究である。これに付随して、葉向単位接束上に測地流並びにホロサイクル流が定まるため、特に興味深い対象である。このような葉層構造の例を、極力広く考え、その共通の性質を調べたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
１２月に Matilde Martinez 氏からの招へいを受け、モンテヴィデオを訪問した。このために、予定していた京都への出張を取り消すこととなった。これにより、次年度使用額が生じた。これは次年度の京都への出張、伊豆への出張旅費に充てる。
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Research Products
(2 results)
