2019 Fiscal Year Research-status Report
Study of Foliations and Group Actions
| Project/Area Number |
18K03312
|
|---|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
松元 重則 日本大学, 理工学部, 名誉教授 (80060143)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
平田 典子 (河野典子) 日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 群の不変生成性 / Anosov 微分同相写像 / 群の左不変順序 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
G を群とする。G を共役類の和集合として表し、各共役類から一つずつ代表元を選ぶ。どのような選び方をしても、選ばれた代表元が G を生成するとき、G は不変生成であるという。例えば仮想的可解群は不変生成であることが知られている。また、双曲群は不変生成でないことも知られている。松田能文氏との共同研究において、我々は次を証明した。
区間 [0,1] の向きを保つ区分的に線形な同相写像のなす群 P は不変生成である。また P には次のような部分群がある。（１）勾配と分点が有理数であるようなもののなす群 PQ.（２）a>1 に対し、勾配が a のべき乗である群 Pa.（３）分点が２進有理数であり、勾配が２のべき乗である群 F . 我々はさらに上記の群 PQ, Pa, F はいずれも不変生成であることを証明した。特に F は Thompson 群と呼ばれ、様々な角度から研究されている群であり、その不変生成性の証明は価値あるものであろうと考えている。
平面の微分可能写像で、接束の１次元部分束 U と S への分解を保ち、U の上では、拡大的、S の上では縮小的なものを Anosov 微分同相写像という。ただし、拡大縮小はある完備なリーマン計量に関するものとする。双曲的１次変換がその典型例であるが、実は平行移動もまた Anosov 微分同相写像である。Mendes による次の予想がある。「固定点を持たない Anosov 微分同相写像は平行移動と共役なものに限る。」この４０年来未解決の予想に我々は反例を与えた。本結果に先立って Groissman と Nitecki による次の定理が知られていた。「反例はあったとしても流れには埋め込めない。」我々の反例は複雑な構成によるものであるが、上記定理によると、それは必然的なものである。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要欄に述べた２つの結果はいずれも１級のものであると考える。またその他にも、群の左不変順序および円順序についての結果もあり、これらはこれから先の本研究課題の遂行に大いに資するものであろうと考える。
|
| Strategy for Future Research Activity |
群の左不変順序ないしは円順序に関する研究を継続したい。とくに孤立順序に深い興味を持っており、その存在、または無限個か否かを様々な群について調べたい。また、大きな群、例えば多様体の微分同相群、位相同相群について、ねじれ元（distorted element）の存在、一様完全性、安定交換子長に関する事項を研究したいと考えている。
|
| Causes of Carryover |
年度末３月に計画していたいくつかの研究集会への出席がコロナウィルスのため中止となったことが最大の理由。次年度使用は主として旅費に充てることを計画している。
|
