2021 Fiscal Year Research-status Report
Study of Foliations and Group Actions
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18K03312
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
松元 重則 日本大学, 理工学部, 名誉教授 (80060143)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
平田 典子 (河野典子) 日本大学, 理工学部, 教授 (90215195)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 円順序 / 力学的実現 / 孤立順序 / 組みひも群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
加算群 G の左不変線形順序のなす空間をLO(G)と表し、左不変円順序のなす空間を CO(G)と表す。ともに完全不連結コンパクト空間である。前者は G の直線 R 上への作用と密接に関連している。後者は円周 S^1 上の作用との関連がある。これら空間の孤立点に相当する順序を孤立順序という。孤立順序は作用の剛性との関係から、力学系的に興味のある対象である。Dubrovina-Dubrovin は組みひも群 B_n 上に孤立線形順序を一つ構成した。我々は B_3 上には、このほかに一体どのくらい孤立線形順序があるのかという問題を考えた。この群 B_3をその中心で割った群は PSL(2,Z) であり、LO(B_3) と CO(PSL(2,Z)) は同型である。しかも後者の空間のほうが調べやすい。我々は群 PSL(2,Z) 上に Markov 系というものを定義し、その全体と CO(PSL(2,R)) の孤立点集合とが１対１に対応していることを見出した。更にMarkov 系の構成方法を考案した。これにより、原理的には CO(PSL(2,R)) の孤立点集合を記述することに成功した。しかしながらMarkov 系全体の数え上げは可能ではあるものの、優しい方法はなく、孤立点集合を決定したとは言い難い。今後の研究に俟たなければならないことである。現時点での成果としては「CO(PSL(2,R))の孤立点集合は、PSL(2,R) の同型写像の作用を除いて、無限個であり、それらは帰納的にすべて構成される」ということが示されたのである。前述のように、CO(PSL(2,R））と LO(B_3) とは同相であるから、まったく同じことが LO（Ｂ_３） についても成り立つ。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
３糸の組みひも群 B_3 の孤立線形順序は Dubrovina-Dubrovin により、一つ構成されていた。我々は、まったく異なる方法で、（群の同型を除いて）無限個存在することを示すことに成功した。これは一定の評価を受けるべき結果であると考える。孤立線形順序の決定の問題は、ある種の群については比較的に優しいが、ある種の群については極めて難しい。我々の結果は極めて難しいと思われる群について、分類に至る道筋を示したものである。これにより、研究はおおむね順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
群 PSL(2,Z) 上に代表者が定義したMarkov系の分類について、簡便な方法がないかを突き詰めたい。今までに得られた結果は、数え上げが可能ということであったが、その数え上げの方法が優しいとは言い難い。例をたくさん与えてくれるという見地からは、これで十分であるし、分類は完成したといえるのであるが、簡便なアルゴリズムは見つかっていない。今後の研究の推進方策としては簡便なアルゴリズムの発見をまず第一に挙げたい。
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| Causes of Carryover |
本研究課題のもともとの使用計画は旅費に経費の大部分を充てるものであった。しかし、本年度も対面形式の研究集会はほとんど実施されることはなかった。また研究者の招へいもなかった。従って未使用額が積み重なった。この未使用額の使用計画としては、コロナ禍次第ではあるが、研究集会が再び実施されるようになるならば、参加のための旅費として使用したい。これが無理であれば、図書、文房具およびソフトウェアを購入するための物品費として使用したい。
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