Differential/difference algebraic properties of solutions of difference equations

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03318
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: 西岡 斉治 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 差分方程式 / 超超越性 / 微分超越性

Outline of Annual Research Achievements

本年度は昨年度に引き続いて、ある種の1階有理的差分方程式について、その解が超超越的であるための条件を明らかにすることを目的として研究を行った。1階有理的差分方程式の身近な例としては、コサイン関数や楕円関数の倍角公式がある。どちらも係数は定数のみであるが、本研究では係数を定数のみに限定しない。ガンマ関数がみたす差分方程式のように独立変数が係数に現れても良いとする。なお、特に1階線形差分方程式に対しては豊かな既存研究があるため、非線形を意識した研究を行っている。用語について、関数が超超越的とは、いかなる代数的微分方程式の解にもならないという性質で、今日では微分超越的ともいう。また微分超越的でないとき微分代数的という。
研究の結果、2次式型の1階有理的差分方程式に対して微分代数的な超越関数解が存在するための必要十分条件を得た。条件は係数のみの関係式で記述される簡潔なものである。この結果は通常の差分だけでなくq差分やマーラー型などを含む一般の変換のもとで成り立つ。なお、本研究は非定数係数方程式が対象であり、既存の定数係数方程式に対する研究を包含するものではない。以上の結果をまとめ、論文誌に投稿した。
定数係数方程式に対する既存研究は、変換や方程式の形が個別的である。そのためある程度の一般化を目指して研究を続けている。やはり定数係数方程式には定数関数解が存在することが問題を難しくしているようである。定数関数は代数関数なのである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

既存論文の証明を詳しく検証し、その不備を解消しようという過程において、有意義な結果を得た。本研究はもともと広く1階有理的差分方程式の解の超超越性を対象としており、研究目的にかなう方向で進展していると言える。

Strategy for Future Research Activity

非定数係数方程式に対しては、有意義な結果が得られた。この間に定数係数方程式の何が難しいかが見えてきている。Rittによるポワンカレ関数の研究では、そこを乗り越えるか回避できていると思われる。解析的に記述された部分の代数化を目指して吟味を続けたい。また、引き続き文献収集により古典的な手法を発掘・再評価する。

Causes of Carryover

新型コロナウィルス感染症により出張ができなかったため、次年度使用額が生じた。
翌年度は出張ができれば使用する。学会がオンラインになれば参加費に使用する。