Differential/difference algebraic properties of solutions of difference equations

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03318
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: 西岡 斉治 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 超超越性 / 微分超越性 / 差分代数 / 微分代数

Outline of Annual Research Achievements

本年度は国際学会での成果発表を視野に補助事業期間の延長を申請したところ、残念ながら良い機会がなかった。
研究期間全体を通じて、主に１階有理的差分方程式の解の超超越性を研究した。超超越性とは、いかなる代数的微分方程式の解にもならないという性質で、伝統的な用語である。ガンマ関数が代表例である。今日では微分超越的という言い方もあり、そうでないとき微分代数的という。１階有理的差分方程式の身近な例としては、コサイン関数や楕円関数の倍角公式がある。どちらの関数も１階代数的微分方程式の解になるため、微分代数的である。ポワンカレは倍角公式を大幅に一般化する乗法的公式のシステムを考え、その有理型関数解を構成した。
ポワンカレの乗法公式は、方程式が１本の場合は定数係数１階有理的ｑ差分方程式になる。方程式が２本の場合で、そのうちの１本を独立変数に当てれば、非定数係数１階有理的ｑ差分方程式が現れる。それはポワンカレにより有理型関数解の存在が保証されている。
本研究では当初から超超越性に関連する古い先行研究をいくつか取り上げ、それらの研究手法を長期間にわたって精査した。しかし様々な事情により結果的には異なる手法で研究を進め、２次式型の１階有理的差分方程式に対して微分代数的な超越関数解が存在するための必要十分条件を得た。条件は係数のみの関係式で記述される簡潔なものである。この成果は非定数係数の方程式に対して有用であり、ポワンカレの乗法公式（ｑ差分方程式）や超越数論で現れるマーラー型差分方程式にも適用可能である。なお、２次式型の１階有理的差分方程式の形はリッカチ方程式にオイラー法の差分化を施すことで得られる。