Differential/difference algebraic properties of solutions of difference equations

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K03318
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Yamagata University
• Principal Investigator: NISHIOKA Seiji 山形大学, 理学部, 准教授 (10632226)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 超超越性 / 微分超越性 / 差分方程式

Outline of Final Research Achievements

Functions which satisfies algebraic differential equations are said to be differentially algebraic, and the other functions transcendentally transcendental. The trigonometric functions are differentially algebraic, and the gamma function is transcendentally transcendental.
For a certain difference equation with non-constant coefficients resembling the double angle formula of the cosine, a necessary and sufficient condition for the existence of differentially algebraic and transcendental solutions was obtained. The condition is only a single relation between the coefficients. The result is also applicable to Poincare's multiplication theorems, or q-difference equations, and difference equations of Mahler type.

Free Research Field

差分代数

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ポワンカレは倍角公式を大幅に一般化する乗法的公式のシステムを考え、その有理型関数解を構成した。ポワンカレが提唱したのは方程式のシステムであるものの、方程式が１本の場合に対してのみ有理型関数解の超超越性がRittにより研究され、その場合に微分代数的なのは楕円関数の類しかないという主張がされた。この主張は何度か再証明されているようである。
本研究成果は２本の方程式からなるポワンカレのシステムの一例を扱ったものと言え、そのため対象となる差分方程式が定数係数から非定数係数に変わっている。