2019 Fiscal Year Research-status Report
有理型写像の値分布論，特に一意性問題・退化問題と除外因子に関する研究
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18K03319
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| Research Institution | Fukushima University |
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Principal Investigator |
相原 義弘 福島大学, 人間発達文化学類, 教授 (60175718)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 正則曲線 / 除外値 / 除外因子 / 一次系 / ネヴァンリンナ理論 / 有理型写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度の成果は以前得られていた除外因子を持つ有理型写像の構成及び射影的複素代数多様体M内の正則曲線の除外因子の集合の構造についての構造定理の拡張を行ったことである。すなわちこれらの諸結果を複素ユークリッド空間上に拡がった有限葉分岐被覆空間X上定義され非特異射影的代数多様体に値を持つ有理型写像について拡張した。
まずfをX上定義されMに値を持つ有理型写像につい第2主要定理型不等式を拡張し，除外関係式を証明した。この除外関係式と拡張されたクロフトン型公式を用いてｆの除外因子の構造について研究した。LをM上のアンプル直線バンドルとしたとき｜L|の部分一次系Λを考察した。その結果除外因子の集合が高々加算個のM上の一次系の和集合として表されることを証明した。この構造定理から除外指数の値の集合が高々可算集合であることが導かれる。
次にM上に任意の効果的因子Dに対しDを除外因子として持つような有理型写像の構成について研究を行った。特にMがn次元複素射影空間の場合に任意の効果的因子Dを含むような一次系Λを考察し，このDを除外因子であって0と1の間の除外値を持つものを構成した。このΛを有限個の一次系の和集合に分解しその各々の部分一次系の上で異なる値を取るものが構成できることを示した。この証明では上述の構造定理と古典的な位数零の代数型関数論に関する結果が用いられる。
上記の諸結果は国際会議・研究集会で発表済みであり。その概要を論文 Deficiencies
of holomorphic curves for linear systems in projective manifolds に纏められ現在投稿中である。なおこの論文では簡明に記述するために正則曲線の場合のみ述べてあるが．有理型写像の場合も含む詳細な結果の証明を与えた論文を現在準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述のように非特異射影的代数的多様体M上に任意の効果的因子Dに対しDを除外因子として持つような有理型写像の構成について研究した。特にMがn次元複素射影空間の場合に任意の効果的因子Dを含むような一次系Λを考察した。このDを除外因子であって0と1の間の除外値を持つものを構成した。このΛを有限個の一次系の和集合に分解しその各々の部分一次系の上で異なる値を取るものが構成できることを示した。これは特殊な写像の構成法であるが，現在まであまり研究がなされていなかったものである。このような特殊な写像の構成は除外因子の集合の構造の解明に新しい知見を与えるものである。またポテンシャル論的な観点からも興味が持たれる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の有理型写像の構成に当たっては増大度が非常に小さい代数型関数に対するValironの結果を用いた。その結果として位数零の写像が得られる。また同様な結果を因子が超平面の場合には以前の論文で指数写像を用いる事によって示した。この場合は位数１の写像が得られる。この結果を指数写像型写像を用いて一般の次数の因子Dについて証明し，両者を比較することは興味ある問題である。更にこのような特殊な写像についてAhlfors-Weylの理論を再構成することにより，除外因子の集合の構造を詳細に研究することを1つの目的とする。
更に底点を持つ一次系に対する接近関数の増大度に関する研究を継続する。一般的な写像に関する理論の構築を行うが，上記で構成した写像に関して研究を行う。
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Research Products
(3 results)
