有理型写像の値分布論，特に一意性問題・退化問題と除外因子に関する研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03319
• Research Institution: Fukushima University
• Principal Investigator: 相原 義弘 福島大学, 人間発達文化学類, 特任教授 (60175718)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 正則曲線 / 有理型写像 / 除外指数 / 一次系 / 一意性定理

Outline of Annual Research Achievements

今年度の研究の背景として昨年度(令和元年)の研究概要を述べる．Xをn次元複素ユークリッド空間上の有限葉分岐被覆空間X上定義された有理型写像fに対し，以下の結果を示した．ｆをX上定義され射影的代数的多様体Mに値を持つ有理型写像につい第2主要定理型不等式を拡張し，除外関係式を証明した。この除外関係式と拡張されたクロフトン型公式を用いてｆの除外因子の構造について研究した。LをM上のアンプル直線バンドルとしたとき｜L|の部分一次系Λを考察した．その結果除外因子の集合が高々可算個のM上の一次系の和集合として表されることを証明した．次にM上に任意の効果的因子Dに対しDを除外因子として持つような有理型写像の構成について研究を行った。特にMがn次元複素射影空間の場合に任意の効果的因子Dを含むような一次系Λを考察し，このDを除外因子を持つものを構成した。このΛを限個の一次系の和集合に分解しその各々の部分一次系の上で異なる値を取るものが構成できることを示した．この証明では上述の構造定理と古典的な位数零の代数型関数論に関する結果が用いた．
今年度(令和2年)では上述のｆとしてShiffmanが導入したn次元複素ユークリッド空間上の指数関数型の有理型写像を用いて同様な結果が得られることを示した．このｆの導来写像について考察し，同様な構造定理が得られることを示した．更に任意の複素射影的代数多様体Mについて任意の効果的因子Dを含むような一次系Λを考察し，このDを除外因子を持つものを構成した。このΛを限個の一次系の和集合に分解しその各々の部分一次系の上で異なる値を取るものが構成できることを示した．
また導来写像についての因子の逆像が一致するようなfamilyについて有限性・一意性について研究を行った．これらの成果は令和3年度の研究集会で口頭発表予定である．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

上述のように非特異射影的代数的多様体M上に任意の効果的因子Dに対しDを除外因子として持つような有理型写像の構成について研究した．特にMがn次元複素射影空間の場合に任意の効果的因子Dを含むような一次系Λを考察した．このDを除外因子であって0と1の間の除外値を持つものを構成した。このΛを有限個の一次系の和集合に分解しその各々の部分一次系の上で異なる値を取るものが構成できることを導来写像を含めて示した．これは特殊な写像の構成法であるが，現在まであまり研究がなされていなかったものである．このような特殊な写像の構成は除外因子の集合の構造の解明に新しい知見を与えるものである．また一意性問題の観点からも興味がもたれる．

Strategy for Future Research Activity

令和2年度では因子が複素射影空間内の超平面の場合に以前の論文で指数写像を用いる事によって示した結果を指数写像型写像を用いて一般の次数の因子Dについて証明し，両者を比較することは興味ある問題である．更にこのような特殊な写像についてAhlfors-Weylの理論を再構成することにより，除外因子の集合の構造を詳細に研究することを1つの目的とする．また導来写像と元の有理型写像に対する一意性についての関係を除外指数に関する条件下で研究を行う．更に底点を持つ一次系に対する接近関数の増大度に関する研究を継続する．一般的な写像に関する理論の構築を行うが，上記で構成した写像に関して研究を行う．

Causes of Carryover

感染症拡大のため参加予定の国際会議・研究集会がすべて中止になったことによる．