Algebraic aanalysis of non-isolated singularities and computational complex analysis algorithms

2021 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 18K03320
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: Tajima Shinichi 新潟大学, 自然科学系, フェロー (70155076)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 小原 功任 金沢大学, 数物科学系, 教授 (00313635) ; 鍋島 克輔 徳島大学, 大学院社会産業理工学研究部(理工学域), 准教授 (00572629) ; 梅田 陽子 城西大学, 理学部, 准教授 (90606386) ; 渋田 敬史 九州産業大学, 理工学部, 講師 (40648200)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 特異点 / アルゴリズム / ホロノミーD-加群

Outline of Final Research Achievements

By utilizing the theory of algebraic analysis and the method of computer algebra, we construct a new framework for analyzing complex analytic properties of singularities. We invent new algorithms for computing several complex analytic invariant of singularities. We also implement resulting algorithms in a computer algebra system. Using these new device, we study singularities.
Based on the theory of comprehensive Groebner systems on the Poincare-Birkhoff-Witt algebra, we construct an algorithm for computing holonomic D-modules associated to a non-isolated hypersurface singularities. For some typical cases, we investigate the structure of holonomic D-modules in an explicit manner. We apply these result to the study of non-isolated hypersurface singularities.

Free Research Field

基礎解析学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

特異点論は現代数学の重要な研究課題であり, 様々な観点から研究されている。特異点の複素解析的諸性質や不変量は, 基本的なものであっても一般には決定したり求めることが困難である。そのため, 計算法を確立することが重要となる。本研究では様々な複素解析的不変量を求めるアルゴリズムを導出し開発したプログラムを数式処理システムに実装した。この成果は今後の特異点研究の展開に有効である。
非孤立特異点を持つ超曲面に対し, それに付随するホロノミーD-加群を求めるアルゴリズムを構築した。さらにそれらホロノミーD-加群の構造を解析する方法を与えた。これにより非孤立特異点を解析する新たな方法を与えることが出来た。