2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03322
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
松本 久義 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50272597)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 一般化バルマ加群 / リー代数 / 旗多様体 / ユニタリ表現 / 微分不変式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
簡約リー代数の放物型部分代数の1次元表現からの誘導表現はスカラー型一般化バルマ加群と呼ばれる。本研究における主要な問題は複素簡約リー代数（実際には単純な場合に帰着される）のスカラー型一般化Verma加群の間の準同型の存在問題の解決である。この問題は一般化旗多様体上の直線束の間の同変線形微分作用素の分類と同値であり簡約リー群の表現論や放物幾何などに応用がある重要な問題であると考えられるがLepowskyが研究を始めてから40年以上経っても解決していない。研究代表者は以前の研究においてこの問題の解についての予想を提出しA型の単純リー代数については予想は正しいことも示していた。 本研究における当面の目標はA型以外の古典型の単純リー代数に対して予想を示すことである。
まず一般論より無限小指標が整の場合に問題が帰着するので以下その場合のみ考える。当該年度においてはA型の場合の論法をA型以外のB,C,D型の古典型の単純リー代数について適用することを試みた。このようなリー代数の放物型部分代数の放物型部分代数のレビ部分は中心を無視すると同じタイプのよりランクの小さい単純リー代数（ランク0も含む）といくつかのA型単純リー代数の直和になる。前年度までに得られた結果はレビ部分のA型直和因子のランクの偶奇が一致しており（D型の場合はD型因子のランクが正という条件が必要）無限小指標が正則という条件の下でA型の場合に対応する準同型の存在のための必要条件が得られたということである。当該年度では無限小指標が正則という条件を外すことを中心的に研究した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度ではB型・C型の単純リー代数の場合、無限小指標が正則でない場合もかなり複雑な組み合わせ論的な議論を施すとうまく行くという見通しを持っているが、上記の特別な場合はVoganによるweakly fair range での移行原理を使えば議論が簡単になるという着想を得た。 いずれにせよ無限小指標が正則でない場合は一般化バルマ加群上のある種の有限性条件を課した線形変換の成す環が普遍包絡環の商環とゲルファンドーキリロフ次元の低い部分を除けば一致するという条件がいるのでそのために対応する一般化旗多様体からリー代数へのモーメント写像がイメージへの双有利同型射になるという条件を付けなばならない。
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度までの古典型についての研究方向を今後も推し進めていくと同時に、最近精力的にXiaoらによって調べられている放物型O圏のブロックの研究などとも絡めていくことを考えている。
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