簡約リー群及びリー代数の誘導表現の研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03322
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 松本 久義 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50272597)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 一般化バルマ加群 / リー代数 / 旗多様体 / ユニタリ表現 / 微分不変式

Outline of Annual Research Achievements

研究の主なテーマは一般化バルマ加群の間の順同型の分類である。本研究に関しては前年度までにスカラー型一般化バルマ加群どうしの間についてはある程度の成果は得られていたがスカラー型という条件を外した場合、移送原理で自明にわかる場合以外については手つかずの状態であった。
本年度は主に具体例特にスカラー型一般化バルマ加群と非スカラー型バルマ加群の間の順同型について具体例の計算やその検討を行った。主な手法は低ランクの場合にCollingwoodらによって開発された帰納的なKazdhan-Lusztig typeのアルゴリズムを用いた手法および最も退化したパラメータにおける一般化バルマ加群の構造を種々の一般論を用いて調べるというものである。いずれも具体例に適用した場合でも残念ながら存在条件については部分的な結果にとどまった。また順同型の存在条件についての予想がすでにあるスカラー型どうしの場合と異なり一般的な形でれ述べらる見通しの良い結果や予想などは現時点では得られていない。また現在の研究テーマへの応用をもくろみ最近の放物型カテゴリーOに関する文献を読んだ。特にXiao氏らによるクロック構造に関する研究は相異なるブロックに属する一般化バルマ加群の間には順同型が存在しないので存在のための必要条件が抽出できることが期待できる。
あとはスカラー型どうしの場合の特異パラメーターを持つ場合の具体例の計算および、いままでの研究成果についての論文執筆に費やした。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

スカラー型どうしの間の順同型については昨年度までにまとまった結果は得られている。ただしスカラー型の条件をはずした場合については今後の課題になっている。

Strategy for Future Research Activity

近年Xiao氏らによって一般化バルマ加群を自然に含む放物型カテゴリーOのブロック構造についての研究が大きく進展している。順同型の存在問題についても応用がないか検討していきたい。