Study of induced representation of reductive Lie groups and Lie algebras

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03322
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 松本 久義 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50272597)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 一般化バルマ加群 / 半単純リー代数 / ユニタリ表現 / 放物型部分代数 / 微分不変量

Outline of Annual Research Achievements

本年度はランク２の放物型部分代数特にF_4型の場合にスカラー型一般化バルマ加群の間の準同型の分類を具体的に行うことに主に取り組んだ。
分類に関してはすでに予想を立てていて準同型が存在するとされる場合はすでに解決しているので問題はそれ以外の場合について非存在を調べることにある。
有効な手法としては移送関手を適用してパラメータの特異度が高い場合に帰着するものである。
さらに普遍包絡環の原始イデアルの理論を援用して組織的に非存在性を示すことができる。しかしすべての場合はつくせず、そのような場合、移送関手で写した先が一般化バルマ加群でもはやないような場合を考察し矛盾を導くことを試みた。これについてうまく行く例を見出したが現時点ではad hocな議論であり、結局definitiveな結果が得られなかった。

期間中に得られた他の成果として特筆できるのはスカラー型とは限らない一般化バルマ加群の間の準同型のなす空間の次元を上から評価することを試み次の結果を得た。g を複素簡約リー代数、ｐをその放物型部分代数とし V_1, V_2 をpの有限次元既約表現とする。M_1, M_2 をそれぞれ V_1, V_2からgへの誘導表現（つまり一般化バルマ加群）としたときM_1からM_2への準同型の空間の次元がV_1の次元とV_2の次元の積で上から抑えられるというものである。この評価は V_1, V_2を定める一般化バルマ加群のパラメーターに依存しているが、移送原理など既存の一般論を組み合わせると特定の有限個のパラメータを参照すればよく、任意の一般化バルマ加群の間の準同型のなす空間の次元の(g, p)のみに依存する上からの評価が得られる。 しかしながら実際には古典型の場合gのランクに依存しない評価がありそうだとの感触を得ている。