2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03323
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
坂井 秀隆 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50323465)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | パンルヴェ方程式 / 差分方程式 / 特殊函数 / 超幾何函数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
東京大学の間瀬崇史氏，城西大学の中村あかね氏との共同研究の結果として，Discrete Hamiltonians of discrete Painlev\'e equations というタイトルの論文を執筆し，現在投稿中である(arXiv: 2001.02535)．
この論文では，離散パンルヴェ方程式に対する離散ハミルトニアンというものを提案し，それを使うと方程式が簡単に書けることを示した．離散ハミルトニアンは，従属変数，独立変数やパラメーターの対数函数や2重対数関数を用いて書かれる．タウ函数との関係に興味があるのだが，対応に関しては，次の課題だと思っている．
この論文と，研究目的の関係について少し説明する．2017年に出版されたわたしと神保道夫氏，名古屋創氏の論文において，ある離散パンルヴェ方程式に対して超越解の構成を行った．その際，函数が離散パンルヴェ方程式を満たすことは示されたのだが，双線型形式を満たすことの証明は出来ていなかった．連続の場合うまくいっている理由の一つに，微分方程式がハミルトン形式で書かれていることの利点があるようにも思われ，対応する理論を離散の場合にも模索する試みとして，このような計算を行ってみた．
本研究課題の目的としてあげた，パンルヴェ方程式あるいはその拡張に関する超越解の理解というものへはまだなかなか届かないものではあるが，今後の研究の発展，理論の整備につながると期待している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
少しづつではあるが，計算も進んできている．このまま続けて目標としている結果にたどり着けると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
この研究課題において挙げてきた，具体的な目標である，離散系などへの拡張を含むパンルヴェ方程式の超越解に関する各種の関係式の導出や性質の証明，線型
q差分方程式の変換理論，分類理論について，研究を続けていこうと思う．
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| Causes of Carryover |
年度末に計画されていた日本数学会を始め，アクセサリーパラメーター研究会（熊本）などが中止になり，使用計画が実行できなくなった．
2020年度も予定は大きく変わっているので，不確かな部分が多いが，適切に使用していきたい．
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