2018 Fiscal Year Research-status Report
劣拡散的なランダム媒質中の多次元拡散過程の漸近挙動と極限分布の研究
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18K03324
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| Research Institution | Tokyo Gakugei University |
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Principal Investigator |
高橋 弘 東京学芸大学, 教育学部, 准教授 (30413826)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 確率解析 / ランダム媒質 / Weakly dependence |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ランダム媒質中の拡散過程の漸近挙動について，１次元拡散過程の一般論を用いるアプローチからの研究を進めた。以前の研究では，１次元に満たないフラクタル図形上の拡散過程をランダムウォークの極限として構成し，さらにその均質化の問題を考察した。均質化の問題に比べ，さらにランダムネスの影響が大きくなるようなランダム媒質をフラクタル図形上に与えることで，この問題を考えることがわかり，現在はその極限定理について考察している。この研究で得られた成果の一部は，統計数理研究所で行われた研究集会「無限分解可能過程に関連する諸問題」で発表し，速報の形として，共同研究リポートに結果を公表した。現段階は，ブラウン運動をランダム媒質のモデルとしているが，自己相似性を持つ確率過程への拡張も可能であると思われる。
また，ランダム媒質のモデルとして，従属性を持つ確率変数をとする場合についても考察している。物理現象のモデル化としてランダム媒質の問題を考えるときに，環境のランダムネスのモデルとして従属性を持つ場合を考えることは自然であるが，この方向性での研究は，特に連続時間の場合については，進んでいない。最近の従属性を持つ確率変数列の研究は，数理統計学からのアプローチも盛んであり，これらの成果をランダム媒質の問題に適応させる研究にも着手している。得られた成果の一部は，現在，投稿中である。また，ランダム媒質の研究で得られた成果を一般論へと拡張する研究へと発展している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
(1) １次元に満たないフラクタル図形上においても，ランダム媒質の問題が考えられることがわかり，問題設定や証明方法に方向性が示せたことは，研究の進展といえる。
(2) 従属性を持つランダム媒質の問題を考えることで，新たな研究テーマが見つかったことも研究の進展といえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の進捗状況の(1)については，現段階で得られ，速報で公表した結果を論文としてまとめることが最優先される。また，ランダム媒質を自己相似性の観点から一般化する研究も進めていく予定である。
上記の進捗状況の(2)については，国内外の研究者と研究打ち合わせをすることで，ランダム媒質の問題だけでなく，極地理論などの確率論・統計学としての一般的な枠組みでの研究を進めていく予定である。
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| Causes of Carryover |
当初の研究計画では，計算機によるシミュレーションを進める予定であったが，先に理論面からの研究を進めることにより，物品購入を2019年度以降に先送りすることになったことによる。また，予定していた研究集会・セミナーへの出張旅費が，他の研究者の科研費等からサポートされたことにもより，次年度使用額が生じた。
残額は，計算機とソフトウェアの購入，研究打ち合わせのための国内・国外出張, 成果発表のための研究集会・セミナーへの出張旅費などについて，2019年度請求額とあわせて使用する予定である。
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