劣拡散的なランダム媒質中の多次元拡散過程の漸近挙動と極限分布の研究

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03324
• Research Institution: Keio University
• Principal Investigator: 高橋 弘 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (30413826)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 自己相似確率過程 / 従属性を持つ確率過程

Outline of Annual Research Achievements

ランダム媒質中の拡散過程の問題について，媒質の持つ自己相似性に着目し，拡散過程の漸近挙動を把握することを目的とした研究を続けている。ランダムな環境を与え，その中を動く多次元拡散過程を考察するときには，環境のモデルとして確率場を考えることは自然であり，そのような目的で，確率場の持つ図形的な性質について考察した。自己相似性を持つ確率場の解析は，従属性を持つ確率過程をモデルとしている。また，ランダム媒質の問題を意識した多径数確率過程はに関する先行研究を自己相似性の観点から拡張する方向での研究を進めた。いくつかの部分的な成果は得られたが，ランダム媒質中の拡散過程の極限分布を記述するために必要となる情報までは把握しきれていない。多径数確率過程の道の性質の解明を図ることが今後の課題となる。

一方で，従属性を持つ確率過程について研究を進めたことで，昨年度に発表した，遅れを持つ確率微分方程式の近似解に関する論文で考えた問題が，より一般的な設定で定式化できることがわかった。この定式化は，パラメータが一変数の確率過程に関するものであるが，新たな方向性での研究が進められることがわかったことは収穫であり，現在は論文を作成中である。

昨年度に続き，非連結なフラクタル図形上のランダム媒質中の確率過程に関する研究を進めた。ランダム媒質のモデルとして，１次元ブラウン運動にフラクタル図形に起因する自己相似測度から導かれる時刻変更を施したものを研究対象としてきた。しかし，自己相似確率過程を持つ安定過程をランダム媒質としたときも，極限定理が得られることがわかり，現在はこの場合も含めた，より一般的な枠組みで議論を進める論文を作成している。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

新型コロナウィルス感染症による教育活動・日常生活への影響が大きく，学術研究に充てる時間が極端に少なくなり，研究活動が停滞したことを認識している。また，論文執筆にも遅れが生じている。

論文発表を予定していた国内外での研究集会は軒並み中止，もしくは次年度以降に延期となった。オンラインで行われた研究集会については，費用・日程の面で参加がしやすくなり，新たな知見を得ることができた。一方で新たな議論を生み出す，ということはできなかった。

以上の点を鑑み，進捗状況についてはやや遅れている，と自己評価する。

Strategy for Future Research Activity

国外で行われる研究集会において講演する予定だったが，新型コロナウイルス感染症のために再延期されることになった。ただし，国内で行われる研究集会については，発表を予定している。

また，２０２０年度に進展が見られた研究については，なるべく早くに完成させ，投稿する。

Causes of Carryover

予定していた国内外への出張が新型コロナウィルスのためにすべてキャンセルとなったために旅費の使用額がなくなったために，次年度使用額が生じた。一方で，オンラインでの研究環境を整備するための費用として，次年度に計上する。