Research on quantum walks from the viewpoint of operator algebra

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K03325
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: 酒匂 宏樹 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (70708338)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 量子ウォーク / 作用素環論

Outline of Annual Research Achievements

本研究の主題は量子ウォークである。量子ウォークとはヒルベルト空間上のユニタリー作用素によって記述される変換であり、物理学と密接に関連する研究課題である。量子ウォークの数学的研究においてはこれまで、確率過程の変形として量子ウォークをとらえる研究が盛んにおこなわれてきた。本研究課題においては、それに加え、量子ウォークを関数解析の対象としてとらえた研究を行うことにした。
量子ウォークはユニタリー作用素であるが、それは何らかの空間概念とのペアをなしている。量子ウォークの基礎付けを明確にするための研究を行い、その定義として妥当と思われるものを提唱することができた。私が提唱する新しい定義において、量子ウォークは次の三つ組みである：(ヒルベルト空間、その上のユニタリー作用素、およびヒルベルト空間に作用する直行射影に値をとる幾何学的空間のうえのスペクトル測度)。このように定義をすることで、量子ウォークについて述べられる定理のステートメントを明確にすることができ、研究の幅も広がることは間違いがないと考えている。
つづいて、量子ウォークについてのRegularityとして、四つの概念を新たに提示した。それらは、有限伝搬性、解析性、滑らかさ、Uniformityである。いずれもユニタリー作用素と空間概念の相性の良さにかかわっている。これらのRegularityは量子ウォークの扱いやすさを示す指標ともなっている。
本研究では新たな定理の発見も相次いでいる。例えば、空間一様量子ウォークの極限分布を証明することができた。また、離散時間一次元空間一様量子ウォークが連続時間量子ウォークで実現できるかどうか判定する方法も発見した。
これまでの量子ウォーク研究においては、定義が明確でなかったために、定理のステートメントも明確ではなかった。このような好ましくない状況を打開する重要な貢献ができたと自負している。

Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

当初の計画の通りに量子ウォークの定義を明確にするための基礎的な研究を着実に行うことができた。しかし、そこから導かれる成果には当初予想していなかったものが多く、当初の計画以上の本研究が進展しているといえる。
まず第一に量子ウォークの解析性という概念を発見したために得られた成果は大きかった。解析性はこれまでに扱われてきた量子ウォークのすべてが満たす弱い条件である。解析性に注目すると複素関数論の知識を当分野に応用することができるため、結果として得られる定理は強力なものが多い。その中で、極限分布の存在定理や連続時間量子ウォークによる実現可能性・不可能性の判定法は特筆すべき成果である。
連続時間量子ウォークによる実現可能性をより理論的に扱うことを動機として、量子ウォークの圏を提唱した。圏(Category)とは、対象(Object 点)とその間の射(Morphism 矢印)からなる数学的対象である。量子ウォークの圏の対象を一つ一つの量子ウォークで定め、射を量子ウォーク間のIntertwining Operatorで定義した。この定義を用いると、連続時間量子ウォークによる実現可能性は、One parameter自己同型射の存在に言い換えられる。すなわち、量子ウォークの圏を解明すれば、連続時間量子ウォークによる実現可能性は完全に解明されることとなる。
量子ウォークの圏を解明することが重要となるが、第一歩として一次元解析的空間一様量子ウォークの圏構造を完全に解明することができた。

Strategy for Future Research Activity

量子ウォークの定義を明確にし、圏という枠組みを明示したことは重要な成果であり、今後もそれを生かした研究が行える。すでに多くの研究者によって取り組まれている研究課題を統一的に整理できる可能性に注目している。最近特に注目しているのは松沢・佐々木・鈴木・寺西らによってなされている時間作用素の研究である。この概念に注目することによって、量子ウォークによる力学系の「経過時間」ともよべるような概念を扱うことができるのだが、そこで量子ウォークの世界に双対性の概念を導入できるのではないかと予想している。
また、小松・今野らによる量子ウォークの定常状態の研究、そのうち特に固有値問題についての研究に着目している。量子ウォークは関数解析的側面や確率論的側面を持っているが、さらには代数的側面も有している。固有値問題は痰飲詩論とのつながりが大きいことは容易に想像できるが、さらに突き詰め、代数幾何学的な知識を用いてさらなる研究ができるのではないかと模索している。さらなる進展を目指したい。

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの感染が拡大していることに伴い、参加する予定だった研究集会や学会が取りやめとなった。そのため当初の計画よりも旅費の支出が減少した。