2020 Fiscal Year Research-status Report

Research on quantum walks from the viewpoint of operator algebra

Research Project

Project/Area Number	18K03325
Research Institution	Niigata University
Principal Investigator	酒匂宏樹新潟大学, 自然科学系, 准教授 (70708338)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	量子ウォーク
Outline of Annual Research Achievements	量子ウォーク研究の研究をさらに推し進めることができた。量子ウォークの定式化を推し進める研究課題についてまず説明する。量子ウォークが作用するヒルベルト空間、ユニタリー作用素、空間の幾何学を反映する射影測度の三つ組みで定式化を行ったが、この定式化が定着してきている。従来の量子ウォーク研究においては具体的なユニタリー作用素を量子ウォークと呼ぶことが多かったが、何が量子ウォークであり、何が量子ウォークでないのか、その境が明確でなかった。定式化を与えたメリットは多い。その第一は「この性質を満たす任意の量子ウォークについてこの定理が成り立つ」というタイプのステート面を用いることが可能になったことである。量子ウォークの理論的基盤を与えることができた。定式化の第二のメリットは、量子ウォークの線形的伝搬や、局在化についての本質について理解が深まったことである。議論の抽象性が増せば、量子ウォークのどの性質が、線形的伝搬・局在化の十分条件になっているのか、議論の整理がしやすくなった。本研究の成果は以上のような抽象的側面にとどまらない。多次元量子ウォークの研究についてまとめた研究論文が論文雑誌にアクセプトされた。本論文においては、抽象的な量子ウォークにおいて、伝搬が高々線形であるということを、「なめらかさ」という条件の下で示すことができた。また、従来の研究において証明されていたことになっていた、空間一様量子ウォークの収束定理に完全な証明を与えることができた。新しく得られた定理においては、空間は整数群の直積である必要はなく、例えば3次元の結晶格子などにも適用可能である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason オンラインでのセミナーや研究集会など、発表機会を得て、例年を上回る回数の発表機会を得ることができた。これまで参加しなかった量子場理論の研究集会においても研究発表を行うことができた。　多次元量子ウォークの研究についてまとめた研究論文が論文雑誌にアクセプトされた。相互作用フォック空間のヤコビ係数が周期的である場合に、その極限測度が量子ウォークの極限測度として実現可能であると予想しているが、その新しい研究課題においても大きな進展が得られた。また、空間一様1次元3状態量子ウォークがいつ局在化を起こすのか、その判定すべく、研究を進めてきたが、その研究もほぼ完成の段階にある。空間一様1次元量子ウォークの分類についても、従来の研究成果をさらに磨き上げた。これらの量子ウォークはその固有値関数で分類可能であるということが判明した。量子ウォークの圏から解析関数の圏への関手によって分類するという戦略はほかの量子ウォークにも展開できるのではないかと期待している。本研究課題にはあと2年研究期間が残っているが、その間にも多くの成果が得られる見込みが立った状況である。
Strategy for Future Research Activity	次の研究課題において、成果がまとめられそうであるので、完成をめざす 1) 相互作用フォック空間のヤコビ係数が周期的である場合に、その極限測度が量子ウォークの極限測度として実現可能であることの証明。2-1) 空間一様1次元3状態量子ウォークがいつ局在化のか判定する方法の開発。 2-2) 前項の研究手法の一般化。3-1) 空間一様1次元量子ウォークの分類の完成。3-2) 前項の研究手法の一般化 4) 非空間一様量子ウォークの研究。コロナウイルス感染症の拡大防止のため、例年とは異なる対応が必要になるが、これまで行っていなかった日本数学会での発表などの機会を用いていきたい。インターネットを経由した研究打ち合わせも積極的に行っていく。
Causes of Carryover	当初情報収集のために、海外の研究集会等へ参加する予定であったが、コロナウイルス感染症の拡大防止のために、中止になったため。