2020 Fiscal Year Research-status Report

Singular limit of the magnetic Schroedinger operators and related inequalities

Research Project

Project/Area Number	18K03329
Research Institution	Kyoto Institute of Technology
Principal Investigator	峯拓矢京都工芸繊維大学, 基盤科学系, 教授 (90378597)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords	数理物理学 / 大域解析学 / 量子力学 / スペクトル・散乱理論 / アハラノフ・ボーム効果 / 点相互作用
Outline of Annual Research Achievements	前年度までには、３次元ユークリッド空間におけるポアソン・アンダーソン型点相互作用を持つシュレディンガー作用素について、エネルギー・パラメータが負の無限大に発散する極限における、積分された状態密度（Integrated density of states, IDS）の漸近挙動は、マイナス２分の３次の多項式オーダーであることを示した。この結果は、通常の負のスカラー型ポアソン・ランダム・シュレディンガー作用素に対するIDSは優指数減衰であることを考えると、一般論に収まらない独自の成果であった。本年度は、前年度の研究成果をさらに発展させ、IDS の漸近挙動の主要項の係数を、ポアソン点配置の密度などを用いて具体的に決定した。証明においては、前年度に行った自己共役性の証明の際にも鍵となった、浸透問題（パーコレーション問題）における解析手法、特にポアソン点配置における近接ペア（ある程度の距離未満にある２点の組）の数の評価を本質的に用いた。また、R言語を用いた数値シミュレーションを行い、数学的に得られた結果を数値的にも確かめた。この結果について、2020年12月に京都大学数理解析研究所（オンライン）で行われた国際研究集会「Schroedinger Operators and Related Topics」にて講演を行い、さらに2021年3月に慶應義塾大学（オンライン）で行われた日本数学会2021年度年会において特別講演を行った。現在、この結果の一般化、および論文執筆を行っている。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason ポアソン・アンダーソン型の点相互作用のIDSの漸近挙動を具体的に決定し、これまでに例のない多項式減衰を明確に示したのは、大きな成果と言える。現在まで計算したのは３次元の場合のみだが、２次元の場合にも一般化は可能と思われる（１次元の場合は既知）。
Strategy for Future Research Activity	ポアソン・アンダーソン型の点相互作用に対するIDSの漸近挙動について、２次元の場合への一般化を行う。さらに、２・３次元の場合について、負のスペクトルの部分におけるアンダーソン局在や、準位統計などの問題にも取り組みたい。また、正の実軸上のスペクトルについてはまだ何も示されていないが、解析のための手がかりはいくつか得られており、それについてさらに解析を進めたい。
Causes of Carryover	コロナ禍による研究集会の中止・オンライン化のため、出張費を使用して研究集会に出席、研究連絡を行う機会がすべて失われた。本年度に新型コロナウイルスによる影響が軽減された場合は、出張を行って研究集会出席・研究連絡を行いたい。また、オンラインでの研究連絡を行うための機材購入や、高精度の数値計算を行うためのパソコン購入も行う予定である。