2020 Fiscal Year Research-status Report
A study on dynamical system of the Teichmuller modular group represented by a group of rational transformations
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18K03331
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / 離散群 / 双曲幾何学 / リーマン面 / 写像類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
タイヒミュラー空間と写像類群に関する研究を行った。一般の曲面のタイヒミュラー空間の大域座標系を扱った従来の研究とは異なり，タイヒミュラー空間のさまざまな様相に関わる具体例を多く導出するため，2つ穴あきトーラスや種数2の閉曲面のタイヒミュラー空間の研究を行った。1つ穴あきトーラスのタイヒミュラー空間についてはすでに多くの研究がなされているが，次元が4次元または6次元であるこれらの曲面のタイヒミュラー空間についてはまだ十分な研究は行われていない。当該年度実施した研究の成果として，タイヒミュラー空間の大域座標系を導入し，それらを用いた写像類群の有理変換群としての表現，および2つ穴あきトーラス群や種数2の曲面群のの行列表示を得た。これらを応用して2つ穴あきトーラスの写像類群の有限位数をもつ元をジェルヴェス生成系の積を用いて表した。また，2つ穴あきトーラスのタイヒミュラー空間の部分タイヒミュラー空間，すなわち2つ穴あきトーラスを有限被覆面にもつオービフォールドのタイヒミュラー空間とそれらを固定する写像類群の部分群を決定し，さらに2つ穴あきトーラスをファイバーにもつ円周上のファイバー・バンドルである有限余体積の双曲3次元多様体を具体的に構成した。さらに種数2の閉曲面をファイバーにもつ円周上のファイバー・バンドルであるコンパクトな双曲3次元多様体の具体例をした。金沢大学の牛島顕氏と共同研究を行い，有限余面積フックス群の例外的ディリクレ基本領域がを与える基点の集合が非可算無限集合であることを証明し，ココンパクトなフックス群に対して証明されていたFeraの結果を拡張した結果が公表されたので，続けて任意の有限生成フックス群への拡張について研究している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
タイヒミュラー空間に作用する写像類の力学系を利用して2つ穴あきトーラスをファイバーにもつ円周上のファイバーバンドルで有限余体積の双曲3次元多様体になるものを具体的に構成することができた。この研究を用いてコンパクトな3次元多様体の具体例を求める研究を行っているが，順調に研究が進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
科学研究費補助金で数式処理ソフト Wolfram Mathematica を継続して購入できたので，有限体積の，あるいはコンパクトな双曲3次元多様体の具体例の構成をする。これまで得られた例は他のオービフォールドの有限被覆空間という対称性を持つものであったが，今後は対称性を持たない多様体の例を構成したい。写像類群の作用とタイヒミュラー空間を表現する代数的方程式の整数解との関係について研究を進める。また牛島顕氏と例外的ディリクレ基本領域を与える基点の集合についての研究を継続する。
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| Causes of Carryover |
2020年6月5日-7日に島根県松江市内にある松江テルサにおいて Ara Basmajian ニューヨーク州立大学教授と研究集会"Modluli in Matsue 2020"を開催する予定で国内外の共同研究者の招聘旅費や会場費，人件費を使用する予定であったが，コロナウィルス感染症拡大防止のために研究集会が中止となり，翌年以降に延期になったためである。現時点ではコロナウィルス感染症の終息は見えないが，海外への往来が可能になれば，外国旅費(招聘費）として使用する予定である。
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