2021 Fiscal Year Research-status Report
A study on dynamical system of the Teichmuller modular group represented by a group of rational transformations
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18K03331
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| Research Institution | Shimane University |
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Principal Investigator |
中西 敏浩 島根大学, 学術研究院理工学系, 教授 (00172354)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | タイヒミュラー空間 / 離散群 / 双曲幾何学 / リーマン面 / 写像類群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
タイヒミュラー空間とその上に作用する写像類群に関する研究を行った。特に種数2の閉曲面のタイヒミュラー空間を扱った。種数2の閉曲面のタイヒミュラー空間を種数2の余コンパクト・フックス群の変形空間と見なすとき，従来の研究によってタイヒミュラー空間には７つのトレース・パラメータ(フックス群の指定された元である7つSL(2,R)の行列のトレース)による大域的座標が導入されることがわかっていた。
当該年度実施した研究の主結果は，上記のパラメータによるタイヒミュラー空間の点としての種数2の曲面群の行列表示を得たことである。行列の成分はすべてパラメータの有理関数である。また，このパラメータを複素化して，曲面群のSL(2,C)表現の空間上に拡張できる。種数2の曲面群を指数有限部分として含むオービフォールド群のタイヒミュラー空間は種数2の閉曲面のタイヒミュラー空間の部分空間であるが，その包含関係についても詳しく調べた。
トレース・パラメータの利点はSL(2,C)において成り立ついくつかのトレース恒等式をもちいてタイヒミュラー空間や曲面群のSL(2,C)表現の空間上に作用する写像類群を有理写像につくる群として表現することができることである。種数2の閉曲面の場合は実現可能性のみではなく，実際に曲面のいくつかのデーン・ツイストが与える写像類群の生成系(リコリシュ生成系)の有理写像表現を得た。このことを応用して種数2の閉曲面をファイバーにもつ円周上のファイバー・バンドルである双曲閉3次元多様体を具体的に構成することを試みた。連立代数方程式を解くなど膨大な計算が必要であったが，数式処理ソフトMathematicaなどを援用した結果，いくつかの具体例を見つけることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
タイヒミュラー空間に作用する写像類の力学系を利用して種数2の閉曲面をファイバーにもつ円周上のファイバーバンドルで有限余体積の双曲3次元多様体を具体的に構成する研究を行っている。研究は完成に近づいており，順調に研究が進んでいる。
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| Strategy for Future Research Activity |
科学研究費補助金で数式処理ソフト Wolfram Mathematica を継続して購入できたので，有限体積な双曲3次元多様体の具体例の構成をする。閉双曲多様体の例はまだ少ないので，そうした具体例の構成は価値があると思われる。これまでの研究の過程でMathematicaを用いたさまざまな関数やプログラムが蓄積できたので，より研究が加速することを期待している。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響でほとんど旅費が使えない状況であった。計画していた松江でのモジュライ空間に関する国際研究集会も再延期せざるを得なかった。現時点ではコロナウィルス感染症の終息は見えず，国際情勢も不安定であるが，海外への往来が可能になれば，外国旅費(招聘費）として使用する予定である。
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