2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K03332
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
下村 哲 広島大学, 教育学研究科, 教授 (50294476)
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2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ソボレフ関数 / 楕円型偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。特にソボレフ空間とそれに付随する容量の概念は、方程式の弱解の正則性を調べ、それが強解であるかどうかを判定するのに欠かせない道具である。本研究では、実解析学だけでなく、偏微分方程式論、多様体上の微分幾何学やグラフ上の解析学、電気流動学や弾性学などへの幅広い応用を念頭に、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することを目的とする。本年度は次のような研究を行った。
Musielak-Orlicz空間におけるソボレフの不等式、距離空間のMusielak-Orlicz-Morrey空間における極大作用素の有界性、リースポテンシャルに対するソボレフの不等式について成果を得た。Non-doubling測度距離空間のgrand Musielak-Orlicz-Morrey空間におけるリースポテンシャルに対するソボレフの不等式について成果を得た。半空間上のHerz-Morrey-Orlicz空間に対するソボレフの不等式について成果を得た。一般化されたリースポテンシャルに対する変動指数をもつ重み付きノルム不等式に関する成果を得た。単位球上のcentral Morrey-Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルやグリーンポテンシャルに対する増大性について成果を得た。
距離空間のJohn領域上のOrlicz空間における単調なソボレフ関数の境界挙動に関する成果を得た。距離空間上の一般化されたMorrey空間に関する注意についても成果を述べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Musielak-Orlicz-Morrey空間やgrand Musielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、極大作用素の有界性、リースポテンシャルに対するソボレフの不等式に関する結果などを得た。距離空間のJohn領域上のOrlicz空間における単調なソボレフ関数の境界挙動や変動指数をもつ重み付きノルム不等式に関しても成果も得た。距離空間上でのソボレフ型定理に関して成果を得るなど、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理を発展させることができた。このように、本年度予定していた以上の成果を得ることができたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成30年度は、予定していた以上の多くの成果を得ることができ、研究は着実に進展している。今後は、平成30年度の研究をさらに発展させるために、平成30年度に得た結果の証明のアイディアをもとに、non-doubling測度距離空間上のMusielak-Orlicz-Morrey空間に関するソボレフ型定理などの研究に取り組み、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理をさらに発展させる予定である。
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