2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K03333
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
平田 賢太郎 広島大学, 理学研究科, 准教授 (30399795)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 半線形楕円型方程式 / ポテンシャル論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，有界Lipschitz領域において，劣臨界指数をもつ半線形楕円型方程式の正値解に対して，境界Harnack原理，境界上の孤立特異点付近での挙動および孤立境界特異点の除去可能性について成果を得ることができた。
2000年のBidaut-Veron氏とVivier氏による研究では，滑らかな境界をもつ有界領域において，劣臨界指数をもつLane--Emden方程式の正値解に対する孤立境界特異点付近での挙動が明らかにされた。具体的には，ポテンシャル論におけるNaim氏の結果（1957年）により，一般に，孤立境界特異点をもつ正値優調和関数は下からMartin核で評価されるが，滑らかな有界領域の場合，上記方程式の正値解は上からもMartin核で評価できて，収束のスピードも評価できるというものである。しかし，彼らの証明方法は，境界が滑らかでない場合には適用できない。
本研究では，境界が滑らかでない有界Lipschitz領域において，正値解に対して類似の評価を得ることで孤立境界特異点付近での挙動を明らかにするために，先ず境界Harnack原理を確立した。境界Harnack原理は調和関数など線形方程式の正値解に対して多く研究されたが，半線形方程式に対する研究結果はない。昨年度の研究成果により，境界全体でゼロとなる正値解は，境界付近ではGreen関数と同様の減り方をすることがわかっていたため，Green関数と正値解のペアに対して境界Harnack原理の証明を試み，Greenポテンシャルの評価とそれを用いた反復議論により証明することができた。境界Harnack原理を用いれば，2010年に得た境界増大評価から，孤立境界特異点をもつ正値解は領域全体でMartin核で評価されることがわかり，積分評価を通して，先行研究結果を拡張する形で正値解に対する評価を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度に続き，当初計画していたように，楕円型方程式の正値解に対する境界Harnack原理を証明することができ，孤立境界特異点付近での挙動を明らかにすることができたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
境界増大評価は，正値解の境界付近での増大度に関する評価であるが，境界Harnack原理を証明する際にも有用であることがわかった。しかし，有界領域の場合と非有界領域の場合では評価式も証明方法も異なることが予想される。今後は，非有界領域の場合や双曲空間に議論展開し，正値解の性質を解明したい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響で3月の日本数学会が中止となったため未使用額が生じた。次年度以降の旅費または研究環境整備に使用する。
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