Research on potential theory for solving nonlinear problems

2023 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K03333
• Research Institution: Hiroshima University
• Principal Investigator: 平田 賢太郎 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (30399795)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: ポテンシャル解析 / 半線形楕円型方程式 / 境界挙動

Outline of Annual Research Achievements

2008年（滑らかな領域の場合）と2010年（滑らかでない領域の場合）の論文において，優線形劣臨界（冪が1より大きく或る数より小さい場合）な非線形項をもつLaplace作用素に関する半線形楕円型方程式の任意の正値解に対する境界増大評価を与え，それを応用して2021年の論文では，境界の一部で0となる正値解に対して境界Harnack原理（２つの解の比に対する評価）を確立し，境界に孤立特異点を持つ正値解の存在や漸近挙動および特異点の除去可能性を明らかにした．
今年度は，滑らかな有界領域に限定し，Schrodinger作用素の場合に上記結果を拡張することを試みた．定常Schrodinger方程式の正値解に対しては，正値調和関数に対して成立するような局所的境界Harnack原理の成立は知られておらず，（大域解に対する）境界Harnack原理の成立のみが知られている．そのため，先行研究の方法を直接適用することはできなかった．この点を克服するために，線形Schrodinger方程式の研究で用いられた方法を考慮し，方程式の解に限定せずに，或る非線形不等式を満たす正値優調和関数の族に対して境界増大評価や境界Harnack原理を示した．それにより，適当な変換のもとでその結果を優線形劣臨界な非線形項をもつSchrodinger作用素に関する半線形楕円型方程式の正値解に適用することが可能になり，目的としていた結果（境界Harnack原理や0-Dirichlet問題の正値解に対する両側評価）を得ることができた．これにより境界に孤立特異点をもつ正値解の漸近評価や特異点の除去可能性についても明らかにすることができた．