2018 Fiscal Year Research-status Report
リーマン面の正則写像の研究――把手条件の拡張と応用
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18K03334
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
増本 誠 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴 雅和 広島大学, 工学研究科, 名誉教授 (70025469)
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平 香川高等専門学校, 一般教育科(詫間キャンパス), 助教 (30803861)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リーマン面 / タイヒミュラー空間 / 等角写像 / 正則写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Bochnerは，一般一意化定理の一般化として，有限種数gを持つ開リーマン面Rは同種数のある閉リーマン面に等角に埋め込まれることを示した。この事実は，Rを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面の全体M(R)を調べる問題に行き着く。及川は，種数gのタイヒミュラー空間Tの部分集合とみなしたときM(R)が連結なコンパクト集合であることを示し，Heinsの定理を著しく改良した。柴は，g=1のとき，M(R)がタイヒミュラー距離に関する球であることを示した。我々は，g>1でRが位相的に有限である場合に柴の定理がどこまで拡張できるか調べた。Tの元は，種数gの固定された閉曲面Σから同種数の閉リーマン面Sの上への同相写像ηの組の同値類[S,η]である。そこで，RからΣの中への同相写像ιを固定し，M(R)をRからSの中への等角写像でηιとホモトピックなものが存在するような[S,η]の全体と定める。我々は，まず，Rの境界に沿って正であるR上の正則二次微分のうち境界長さ条件を満足するものからM(R)の元を構成する方法を編み出し，柴の流体力学的接続を一般化した。そして，閉リーマン面上の測度付葉層構造の理論を応用して，そのようにして得られたM(R)の元はM(R)の境界上にあり，M(R)の境界を埋め尽くすことを示した。g=1の場合と異なり，M(R)の境界上にあるリーマン面への等角的埋め込みは必ずしも一意ではない。さらに，補集合T-M(R)がM(R)の各境界点に深く関わる正則二次微分から定まるタイヒミュラー測地線できれいに埋め尽くされることを示し，その応用として，M(R)をT上の極値的長さ関数を用いて特徴付けることに成功した。最後の結果は，g=1の場合に増本が示したM(R)の特徴付けの一般化である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
与えられた位相的に有限な種数正の開リーマン面を埋め込ませる同種数の閉リーマン面の集合を調べる問題において，最後の大きな障害を克服する道筋が得られ，本研究課題の最初の関門を通過できそうだから。
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| Strategy for Future Research Activity |
挑むべき課題が２つある。第一は，種数有限だが必ずしも位相的に有限ではない開リーマン面を等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面の集合を調べることである。第二は，互いに同相な位相的に有限な開リーマン面の一方から他方への等角的埋め込みが存在する条件を求める問題である。これらの課題は把手条件の応用への第一歩である。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会「Prospect of theory of Riemann surfaces」に招聘した中央研究院数学研究所（台湾）所属の研究者が自身の研究費から旅費と宿泊費等を支出してくれたので，次年度使用額が生じた。次年度は助成金を，リーマン面論に関する研究打合せ旅費，中国で開催されるシンポジウムで成果発表をするための旅費，主宰する国際研究集会に中国から招聘する研究者３名の旅費，学術雑誌論文の閲覧料等に充てる予定である。
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