2019 Fiscal Year Research-status Report
リーマン面の正則写像の研究――把手条件の拡張と応用
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18K03334
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
増本 誠 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50173761)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
柴 雅和 広島大学, 工学研究科, 名誉教授 (70025469)
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 教授 (50319208)
増本 周平 香川高等専門学校, 一般教育科(詫間キャンパス), 助教 (30803861)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | リーマン面 / 等角写像 / 擬等角写像 / 極値的長さ / タイヒミュラー空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Ｒを正種数ｇの位相的に有限な開リーマン面とする。前年度に引き続き，Ｒを等角に埋め込ませる同種数の閉リーマン面全体のなす集合Ｍ(Ｒ)をタイヒミュラー空間論の枠組みで考察した。種数ｇのタイヒミュラー空間Ｔはmax{ｇ,３ｇ-３}次元の複素多様体であり，その元は種数ｇの閉リーマン面ＳとＳからΣの上への向きを保つ同相写像ηとの組の同値類[Ｓ,η]である。ここで，種数ｇの向きづけられた閉曲面Σをあらかじめ固定している。ＲからΣの中への同相写像θを固定し，ＲからＳの中への等角写像でηと合成した写像がθとホモトピックになるようなものが存在する[Ｓ,η]の全体がＭ(Ｒ)である。ｇ=１のとき，柴はＭ(Ｒ)がタイヒミュラー距離に関する球または１点であることを示した。今年度，我々は，ｇ>１ のとき，Ｍ(Ｒ)がＴの閉球に同相であるか１点に退化するかのいずれかであることを示した。１点に退化するのはＲが解析的に有限であるときかつそのときに限る。さらに，１点に退化しない場合，Ｍ(Ｒ)は外部球条件を満たすリプシッツ閉領域であることも示した。Ｍ(Ｒ)の境界が滑らかでないＲの例も見出したので，Ｍ(Ｒ)の境界の滑らかさについてはこれ以上改良することは出来ないことが分かる。とくに，Ｍ(Ｒ)がタイヒミュラー距離に関して球とは限らないことも導かれる。
Ｍ(Ｒ)の形状に関する結果の証明には，１以上の実数Ｋに対し，ＲからＳの中へのＫ-擬等角写像でηと合成した写像がθとホモトピックになるようなものが存在するＴの元[Ｓ,η]の全体Ｍ(Ｒ,Ｋ)を考察することが重要である。Ｋ=１のとき，Ｍ(Ｒ,Ｋ)はＭ(Ｒ)に一致する。Ioffe による極値擬等角写像に関する定理と Gardiner によるＴ上の極値的長さ関数の挙動に関する定理がＭ(Ｒ,Ｋ)の形状を調べる上で重要な役割を果たす。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Ｍ(Ｒ)の形状について，想定以上の結果が得られ，研究をさらに進める上で多くのヒントが得られたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究の進行方向には，Ｒの境界に関する制限を緩和することと，埋め込み先のリーマン面を閉リーマン面以外の場合に一般化することの２つが考えられる。とくに，後者は把手条件を一般化する上で重要である。
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| Causes of Carryover |
６月に成果発表のため中国福建省泉州市で開催された国際研究集会に参加した際，滞在費を先方が負担してくれた。さらに，新型コロナウィルス流行のため３月に開催予定の日本数学会が中止になったため，多くの未使用額が生じてしまった。次年度は助成金を，リーマン面論に関する研究打合せ旅費，学会等で成果発表をするための旅費，年末に主宰する国際研究集会に中国から招聘する研究者３名の旅費，学術雑誌論文の閲覧料，数式処理プログラムの更新等に充てる予定である。
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